本質(zhì):相同元素的不同分堆。公式:把 n 個相同元素分給 m 個不同的對象，每個對象至少 1 個元素，問有多少種不同分法的問題可以采用 隔板法 ，共有C n-1 m-1 種。 條件:這類問題模型適用前提相當嚴格，必須同時滿足以下 3 個條件：
(1)所要分的元素必須完全相同;(2)所要分的元素必須分完，決不允許有剩余;(3)每個對象至少分到 1 個，決不允許出現(xiàn)分不到元素的對象。
例題展示：如10 個相同的小球，放入 4 個不同的盒子里面，每個盒子至少要放一個球。問有幾種放法?10個球中間有9個空放入3個隔板(隔板是相同而不可以區(qū)分的)，那么就可以分成4堆了，故要求的方法數(shù)就是C93種。 以下通過兩個例題來展示隔板模型的兩個變形，如何進行公式的套用。
【變形1】n 個相同元素分成 m 份，每份至少多個元素。 將 8 個完全相同的球放到 3 個編號分別為 1、2、3 的盒子中，要求每個盒子中放的球數(shù)不少于自身的編號，則一共有多少種方法?
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】此題中沒有要求每個盒子中至少放一個球，而都是至少多個的，因此首先需要做的是轉(zhuǎn)化成把 n 個相同元素分成 m 份，每份至少 1 個元素，問有多少種不同分法的問題。故分兩步進行，第一步先給 2 號盒子 1 個球，3 號盒子 2 個球，因為球一樣，故給法只有1種;第二步，此時剩下 5 個球，只需要 每個盒子至少放一個球 即可，應(yīng)用隔板法，方法數(shù)為C42 =6，則總的個數(shù)為1 6=6種。
【變形2】n 個相同元素分成 m 份，隨意分。 王老師要將20個一模一樣的筆記本分給3個不同的學(xué)生， 允許有學(xué)生沒有拿到， 但必須放完，有多少種不同的方法? A.190 B.231 C.680 D.1140
【答案】B。
【解析】這道題中說每個盒子可以為空，即至少0個，不能直接用隔板法來做，因此首先需要做的是轉(zhuǎn)化成把 n 個相同元素分成 m 份，每份至少 1 個元素，問有多少種不同分法的問題。故分兩步進行，第一步先每個人借3個相同的本子，因為球一樣，故給法只有1種;第二步，即此題變?yōu)閷?23 個相同的書全放入 3 個人，每個人至少一個球，此時就可以用隔板法了，則有C222=231 種，則總的個數(shù)為1 231=231種。
