薦:紅師教育軍隊(duì)文職人員招錄考試輔導(dǎo)教材·專業(yè)科目《數(shù)學(xué)2+物理》
軍隊(duì)文職考試中,排列組合是考察頻率較高但卻令很多小伙伴頭疼的題型,尤其是一些需要分類討論的題目,稍有不慎就會(huì)漏掉一些情況。今天,紅師教育帶領(lǐng)大家一起,學(xué)習(xí)一下間接法,從另外一個(gè)角度來(lái)討論需要分類較多的排列組合。
知識(shí)點(diǎn)撥
需要分類討論的排列組合題目,無(wú)論分多少類,終究是有限的,只是出題人往往要求我們討論分類較多的情況。但是反過(guò)來(lái)想想,如果求的結(jié)果是分類較多的部分,那么剩余的部分,分類就較少了,我們可以用整體數(shù)減去剩余部分(稱為對(duì)立事件),這樣就可以減少一些計(jì)算量。間接的方法,反而可能更快更“直接”得到答案。
例題展示
例題
由1-9組成一個(gè)3位數(shù),3位數(shù)肯定有數(shù)字重復(fù)的組合有多少種?
A.220 B.255 C.280 D.225
本題考查排列組合,我們第一反應(yīng)通常把有數(shù)字重復(fù)的情況進(jìn)行分類,本題需要分成四類情況:
(1)百位、十位數(shù)字重復(fù):先確定百位上的數(shù)字,從9個(gè)數(shù)中選一個(gè),有9種情況,十位數(shù)與百位數(shù)相同,只需考慮個(gè)位的情況,個(gè)位和百位、十位數(shù)字不同,所以只能從剩下的8個(gè)數(shù)字中選一個(gè),也就是8種情況,這是分步的過(guò)程,有9×8=72種情況。
(2)百位、個(gè)位數(shù)字重復(fù):同(1)有9×8=72種情況。
(3)十位、個(gè)位數(shù)字重復(fù):同(1)有9×8=72種情況。
(4)百位、十位、個(gè)位數(shù)字都重復(fù):先確定百位,從9個(gè)數(shù)中選一個(gè),有9種情況,此時(shí)十位、個(gè)位和百位相同,直接確定,所以一共有9種情況。
分類相加,所以符合要求的數(shù)字組合一共有:72+72+72+9=225,答案為D。
雖然結(jié)果算出來(lái)了,但是考慮情況會(huì)比較多,況且這只是三位數(shù),如果是四位數(shù)、五位數(shù)會(huì)更加麻煩。如果用間接法會(huì)如何呢?
題目要求的是三位數(shù)中,有數(shù)位上的數(shù)重復(fù),分類較多,對(duì)立事件為三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不重復(fù),只有這一類。我們可以先計(jì)算總的情況數(shù),減去對(duì)立事件包含的情況數(shù)。
總的情況數(shù):百位、十位、個(gè)位均有9種可能,分步相乘,共9×9×9=729種。
對(duì)立事件包含的情況數(shù):一共有3個(gè)數(shù)位,9個(gè)數(shù)字可以選擇,每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字各不相同,故有
729-504=225種,故本題選D。
練習(xí)提升
例1
某交警大隊(duì)的16名民警中,男性為10人?,F(xiàn)要選4人進(jìn)行夜間巡邏工作,要求男性民警不得少于2人,問(wèn):有多少種選人方法?
A.1605 B.1520 C.1071 D.930
【紅師解析】A。男性民警為10人,則女性民警有6人。有不少于字眼,考慮對(duì)立面,男性民警少于2人,即沒(méi)有男性民警或只有1名男性民警,則本題所求為
故本題選A。
例2
三行三列間距相等共有九盞燈,任意亮起其中的三盞組成一個(gè)三角形,持續(xù)5秒鐘后換另一個(gè)三角形。那么如此持續(xù)亮,亮完所有的三角形組合至少需要多少秒?
A.380 B.390 C.410 D.420
【紅師解析】A。要求亮完所有的三角形組合的時(shí)間,則需要先求出所有三角形組合的數(shù)量。若直接討論三角形種類,情況較多,使用間接法,一共9個(gè)點(diǎn),任取其中三個(gè)點(diǎn),
考慮到在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,需要減去8,即三條橫線,三條豎線,兩條對(duì)角線。故共有84-8=76個(gè)不同的三角形,亮完至少需要76×5=380秒。
小結(jié)
間接法可以減少計(jì)算量,那我們什么時(shí)候可以應(yīng)用這個(gè)方法呢?紅師教育也幫大家總結(jié)了一些特征:①題目分類較多時(shí);②題干中出現(xiàn)至多、至少等字眼時(shí)。
希望大家以后遇見(jiàn)此類題目,不要輕易放棄,嘗試去做一做,也歡迎大家來(lái)紅師課堂,學(xué)習(xí)更多解題方法。
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