排列組合一直是很多同學心中的陰影。仔細分析其實排列組合的題目在求解過程中對同學們的阻礙很大一部分來自做題時不同的同學可能做題的想法和順序有所差別，導(dǎo)致有些題目在求解過程中思考的相對復(fù)雜了些。思考的過程中太多的結(jié)合實際而不是在計算數(shù)學模型，導(dǎo)致思路不清，計算復(fù)雜。今天我們一起來看一下排列組合中的插空法在應(yīng)用過程中應(yīng)該如何使用。
一、方法介紹
插空法在題目要求元素不相鄰時使用的方法。
例：現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五人要排成一排組成迎賓隊，問組成甲、乙兩人不相鄰的迎賓隊的方法有多少種?
解：題目總的要求五人排隊，其中甲、乙兩人不能相鄰，此時可以先不安排甲、乙兩人，先安排好其他三人，此時有A(3,3)種方法，三人會構(gòu)造出四個空，現(xiàn)在只要將甲、乙兩人插到四個空中，甲、乙肯定就不會相鄰，因為改變甲、乙的順序?qū)Y(jié)果有影響，所以有A(2,4)種安排甲、乙的方法，做這件事時分為兩步，故所求的方法數(shù)為A(3,3)×A(2,4)=3×2×1×4×3=72種方法。
小結(jié)：題目要求元素不相鄰時可用插空法。使用插空法時：先安排沒有要求的元素，再把要求不相鄰的元素插入已經(jīng)構(gòu)造出的空中即可。(注意改變元素順序?qū)Y(jié)果是否有影響)
二、能力提升
例1：現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4輛不同的車要停到8個相同的相鄰?fù)＼囄恢校瑔枺簺]有相鄰?fù)＼囄坏耐＼嚪椒ü灿卸嗌俜N?
解：題目要求在8個停車位中選4個停4輛不同的車，按生活經(jīng)驗，大部分同學考慮到車可以動，車位不可動，在做此題時會去停車。但是實際上，此題要求4個空車位不相鄰，可以使用插空法且按插空法的應(yīng)用步驟，先停好車會有A(4,4)種方法，而且4輛車肯定會占用4個車位，而且4輛車會構(gòu)造出5個空，接下來只要從5個空中選4個空將4個空車位插入即可(因為車位都相同，改變順序?qū)Y(jié)果無影響)有C(4,5)種方法，此題分為兩步所以共有A(4,4)×C(4,5)=4*3*2*1*5=120種方法。
例2：某籃球隊12個人的球衣號碼是從4到15的自然數(shù)，如從中選出3個人參加三對三籃球比賽。則選出的人中沒有任意兩人號碼相鄰的方法數(shù)有多少種?
解：題目要求從12個號碼中選三個號碼，且要求號碼不能相鄰。大部分同學在求解釋會考慮取號碼，會發(fā)現(xiàn)這個過程相對復(fù)雜。其實題目要求選出的3個號碼不能相鄰，符合插空法的應(yīng)用條件且按插空法的應(yīng)用步驟，先不考慮取出的號碼為幾號，只從12件球衣中拿出3件，此時還剩9件球衣，會構(gòu)造出10個空，接下來只要將提前拿出的3件球衣插到空中即可(號碼順序固定，改變順序?qū)Y(jié)果無影響)有C(3,10)=(10*9*8)/(3*2)=120種方法。
最后，排列組合中的插空法只是一個數(shù)學模型，大家在應(yīng)用過程中不用太聯(lián)系實際，只要能滿足題目要求可使用，應(yīng)用過程中要注意應(yīng)用此方法的條件和步驟。
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