解放軍文職招聘考試北宋時期的數(shù)學(xué)成就-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:27:33北宋時期的數(shù)學(xué)成就一、賈憲的增乘開方法賈憲生活于11世紀，是天算家楚衍的學(xué)生．楚衍有兩名弟子，一名朱吉，后任太史；另一名便是賈憲，在朝中任左班殿值．賈憲對《九章算術(shù)》深有研究，曾著《黃帝九章算經(jīng)細草》，還著有《釋鎖》算書，均佚．但兩書的部分內(nèi)容，保存在楊輝《詳解九章算法》中．《詳解九章算法 纂類》所載的賈憲增乘開方法，是中算史上第一個完整的、可推廣到任意次方的開方程序(原載《黃帝九章算經(jīng)細草》)．例如 令有積一百八十六萬八百六十七尺，問為立方幾何？ 此題相當(dāng)于求方程x3 ＝1860867的正根．按賈憲方法(參見圖8．1)：(1)實上商置第一位得數(shù)．(2)以上商乘下法置廉，乘廉為方，除實訖．(3)復(fù)以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(4)其方一、廉二、下三退．(5)再于第一位商數(shù)之次，復(fù)商第二位得數(shù)，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除實訖．(6)復(fù)以次商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(7)其方一、廉二、下三退，如前．(8)上商第三位得數(shù)，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除實適盡，得立方一面之?dāng)?shù)．很明顯，求得方根第一位后，求下面每一位的步驟都相同，(3)(4)(5)是求第二位的步驟，(6)(7)(8)是求第三位的步驟，依此類推．如果是開平方，則開方式無廉；如果是開四次方或四次雙方以上，則在方和下法間加廉，稱一廉、二廉 ，開方步驟與開立方一致．在增乘開方法基礎(chǔ)上，賈憲創(chuàng)造了 開方作法本源圖 (原載《釋鎖》，存于楊輝《詳解九章算法》)即賈憲三角形(圖8．2)，實際是世界上最早的二項式定理系數(shù)表．雖然該表到六次方止(末行為(a＋b)6的系數(shù))，但表中數(shù)字是有規(guī)律的，每個數(shù)都是它肩上兩數(shù)之和，可按此規(guī)律向下無限延伸(朱世杰便推廣到八次方，即增加兩行)．所以它是一般性的．二、劉益的正負開方術(shù)劉益是中山(今河北定縣)人，生活年代可能比賈憲稍晚．著有《議古根源》，已失傳．該書的部分內(nèi)容保存在楊輝《田畝比類乘除捷法》里．從中可以看出，劉益把增乘開方法推廣為正負開方術(shù)．賈憲的方程都是xn＝B的特殊形式(其中n不大于4，B為正有理數(shù))，劉益則研究了一般的高次方程，如-5x4＋52x3＋128x2＝4096．在劉益的方程中，未知數(shù)系數(shù)可正可負，故曰 正負開方術(shù) ．例如要求方程-5x2+228x＝2592的正根，先擺算式如圖8．3(1)，然后把方和隅向左移動，方每步移一位，隅每步移二位，本題只須各移一步．開方過程如p241圖8．3(開方式下面為相應(yīng)的演草)．劉益的正負開方術(shù)是可以推廣到任意次方程的，所以說他的工作奠定了高次方程數(shù)值解法的基礎(chǔ)．不過，劉益的思想也有局限性，他求解的方程的常數(shù)項僅限于正數(shù)，這一點同賈憲一樣．這種限制，直到李冶時代才取消．三、沈括的數(shù)學(xué)成就沈括(1030---1094)，北宋科學(xué)家，字存中，號夢溪，錢塘(今杭州)人．進士及第后，初任館閣?？保笕翁又性?，提舉司天監(jiān)．王安石變法期間，沈括曾任 權(quán)三司使 (主管財政)、 判軍器監(jiān) 等要職，時常出京察訪各地的新政實施情況，積極參與變法運動．沈括一生論著極多，據(jù)《宋史 藝文志》所錄有22種155卷，流傳至今的有5種64卷．其中《夢溪筆談》(26卷)是沈括晚年定居鎮(zhèn)江時，將一生見聞及研究心得以筆記形式寫成的著作．書中的科學(xué)內(nèi)容相當(dāng)豐富，被著名科學(xué)史家李約瑟(J．Needham，1900---1995)譽為 中國科學(xué)史的里程碑 ．沈括在討論數(shù)學(xué)起源時說： 大凡物有定形，形有真數(shù)．方圓端斜，定形也；乘除相 ，無所附益，泯然冥會者，真數(shù)也． 這就是說，數(shù)學(xué)來源于客觀存在的形和數(shù)，形是物體的特有形狀而數(shù)是從形中抽象出來并能反映形的 真數(shù) ．那么，數(shù)是怎樣被人認識的呢？沈括認為首先要靠實踐： 予占天候景，以至驗于儀象，考數(shù)下漏，凡十余年，方粗見真數(shù)． 但只有實踐還不行，沈括說： 耳目能受而不能擇，擇之者心也． 意思是人們通過感官來接受客觀世界的信息，但不能靠感官去辨別，必須依靠思維，才能由此及彼，由表及里，形成對數(shù)學(xué)的理性認識．這些看法是很精辟的．沈括的主要數(shù)學(xué)成就有兩項---會圓術(shù)和隙積術(shù)．會圓術(shù)所解決的是由弦求弧問題．如圖8．4，沈括得到以下公式(1)式顯然由勾股定理推出．至于(2)式，可能是在《九章算術(shù)》所載弓形面積公式的基礎(chǔ)上，憑借以直代曲的極限思想得出的．沈括的會圓術(shù)問世后，收到明顯的社會效益．著名的《授時歷》中，使用此術(shù)解決了一個重要的天文問題 太陽的赤道坐標(biāo)與黃道坐標(biāo)的變換．所謂隙積，即 積之有隙 者，如累棋、層壇之類，這種長方臺形狀的垛積，實際是二階等差級數(shù)．設(shè)隙積共n層，上底由a b個物體組成，以下各層的長、寬依次各增加一個物體，最下層(即下底)由c d個物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式如下：沈括的工作開了研究高階等差級數(shù)的先河．關(guān)于此式的由來，后人有各種推測，尚無定論．但有一點是肯定的：這一精確公式不可能從經(jīng)驗中歸納出來，一定是邏輯推理的結(jié)果．四、從條段法到天元術(shù)方程理論是宋元數(shù)學(xué)發(fā)展的主流．列方程的重要方法---天元術(shù)，便產(chǎn)生于北宋，而其淵源則為條段法．條段法亦稱演段法，是推導(dǎo)方程的幾何方法．劉益《議古根源》通過平面圖形的分割拼補尋找等量關(guān)系，求得方程各項系數(shù)．因推演中常將各量表示成一段段條形面積，故名．北宋數(shù)學(xué)家蔣周亦用條段法推導(dǎo)方程．蔣周，平陽(今山西臨汾)人，生活于11世紀．著有《益古集》，已失傳，書中部分內(nèi)容存于李冶《益古演段》．從書中題目來看，蔣周的方法比劉益更接近天元術(shù)，因為他懂得尋找含有所求量的等值多項式，然后把兩個多項式連為方程．例如第33題(按《益古演段》順序)： 今有圓田一段，中心有直池水占之，外計地七千三百步．只云并內(nèi)池長闊，少田徑五十五步，闊不及長三十五步．問三事(指池長、池闊、圓徑)各多少？ (圖8．5)令圓徑為d，直池長a闊b，圓積S1，3d2－4 7300＝4S． (1)這便得到一個等于4S的多項式，下面再設(shè)法得到等于4S的另一多項式．因為d－55＝a＋b，所以(d－55)2＝(a＋b)2=4ab＋(a-b)2＝4S＋352，即 (d-55)2-352＝4S． (2)把兩個等于4S的多項式連起來，便得方程3d2-4 7300＝(d-55)2-352．(1)式和(2)式中的4S并非所求，蔣周只是通過它得到兩個等值多項式，在建立方程時便把它們消掉了．這種思想是天元術(shù)中不可缺少的．但條段法有著明顯的局限性．首先，由于沒有設(shè)未知數(shù)的步驟，不是把未知數(shù)用統(tǒng)一符號表示出來，再尋找它和已知量的關(guān)系，而是在解題過程中去找含有所求量的等式，這便增加了思維的復(fù)雜性．其次，條段法只能列出二次方程，因為高于二次的方程很難用面積來表示．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展迫切需要一種簡便的、能建立高次方程的一般方法，天元術(shù)便應(yīng)運而生了．天元術(shù)是一種列方程的代數(shù)方法，因稱未知數(shù)為天元，故名．從現(xiàn)存古算書分析，洞淵無疑是天元術(shù)的先驅(qū)者之一．洞淵生活于11世紀，所著算書早已亡佚．但李冶《測圓海鏡》中保存了洞淵九容公式，即九種求勾股容圓直徑的方法．洞淵的天元術(shù)便以這些公式為出發(fā)點．《測圓海鏡》保存了洞淵的兩道算題，即卷十一第十七題和第十八題．這兩題所得均為四次方程，不僅次數(shù)高于蔣周的方程，更重要的是有了 立天元一 (即設(shè)未知數(shù)x)的明確步驟．把各種各樣的未知數(shù)用統(tǒng)一符號表示，讓它像已知量一樣參與運算，這是數(shù)學(xué)思想上的突破．在第十七題中，洞淵得到后，便把各項中x的冪提高兩次，成為-4x4 -600x3 -22500x2+11681280x+788486400=0．這說明他已懂得用分母中未知數(shù)的最高次冪去乘分式方程各項，從而化分式方程為整式方程．在洞淵的方程中，x的冪具有純代數(shù)意義，而不再拘泥于它的幾何解釋．這正是天元術(shù)高于條段法之處，也是方程向高次發(fā)展的基礎(chǔ)．
解放軍文職招聘考試中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 20:27:55中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在宋元時期達到高峰，以后漸走下坡路．20世紀重登世界數(shù)學(xué)舞臺的中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)，主要是在西方數(shù)學(xué)影響下進行的．西方數(shù)學(xué)比較完整地傳入中國，當(dāng)以徐光啟(1562 1633)和利瑪竇(Mattao Ricci， 1552 1610)翻譯出版《幾何原本》前六卷為肇始，時在1607年．清朝初年的康熙帝玄燁(1654 1722)，曾相當(dāng)重視數(shù)學(xué)，邀請西方傳教士進宮講解幾何學(xué)、測量術(shù)和歷法，但只是曇花一現(xiàn)．鴉片戰(zhàn)爭之后，中國門戶洞開，再次大規(guī)模吸收西方數(shù)學(xué)，其主要代表人物是李善蘭(1811 1882)．他熟悉中國古代算學(xué)，又善于汲取西方數(shù)學(xué)的思想．1859年，李善蘭和英國教士偉烈亞力(Alexander Wylie，1815 1887)合譯美國數(shù)學(xué)家魯米斯(Elias Loomis， 1811 1889)所著的《代微積拾級》(Elements of AnalyticalGeometry and of the Differenfial and Integral Calculus)，使微積分學(xué)思想首次在中國傳播，并影響日本．李善蘭在組合數(shù)學(xué)方面很有成就．著稱于世的有李善蘭恒等式：1866年，北京同文館增設(shè)天文算學(xué)館，聘李善蘭為第一位數(shù)學(xué)教習(xí)．由于清廷政治腐敗，數(shù)學(xué)發(fā)展十分緩慢．反觀日本，則是后來居上．日本在1870年代還向中國學(xué)習(xí)算學(xué)，《代微積拾級》是當(dāng)時日本所能找到的最好的微積分著作．但到1894年的甲午戰(zhàn)爭之后，中日數(shù)學(xué)實力發(fā)生逆轉(zhuǎn)． 1898年，中國向日本大量派遣留學(xué)生，其中也包括數(shù)學(xué)方面的留學(xué)生．1911年辛亥革命之前，有三位留學(xué)國外的數(shù)學(xué)家最負盛名．第一位是馮祖荀(1880 1940)，浙江杭縣人．1904年去日本京都第一高等學(xué)校就讀，然后升入京都帝國大學(xué)研修數(shù)學(xué)．回國后曾在北京大學(xué)長期擔(dān)任數(shù)學(xué)系系主任．第二位是秦汾(1887 1971)，江蘇嘉定人．1907年和1909年在哈佛大學(xué)獲學(xué)士和碩士學(xué)位．回國后寫過許多數(shù)學(xué)教材．擔(dān)任北京大學(xué)理科學(xué)長及東南大學(xué)校長之后，棄學(xué)從政，任過財政部次長等．鄭桐蓀(1887 1963)在美國康奈爾大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位(1907)，以后在創(chuàng)建清華大學(xué)數(shù)學(xué)系時頗有貢獻．由于1908年美國退回部分庚子賠款，用于青年學(xué)生到美國學(xué)習(xí)．因此，中國最早的數(shù)學(xué)博士多在美國獲得．胡明復(fù)(1891 1927)于1917年以論文 具邊界條件的線性微積分方程 (Lin-ear Integro-Differential Equations with BoundaryCondition)，在哈佛大學(xué)獲博士學(xué)位，是中國以現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究獲博士學(xué)位的第一人．他返國后辦大同大學(xué)，參與《科學(xué)》雜志的編輯，很有聲望，惜因溺水早逝．1918年，姜立夫(1890 1978)亦在哈佛大學(xué)獲博士學(xué)位，專長幾何．他回國后辦南開大學(xué)，人才輩出，如陳省身、江澤涵、吳大任等，姜立夫是中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)，曾任中央研究院數(shù)學(xué)研究所首任所長．本世紀20年代，中國各地的大學(xué)紛紛創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系．自國外留學(xué)回來的數(shù)學(xué)家擔(dān)任教授，開始培養(yǎng)中國自己的現(xiàn)代數(shù)學(xué)人才．其中比較著名的有熊慶來(1893 1969)，1913年赴法國學(xué)采礦，后改攻數(shù)學(xué)．1921年回國后在東南大學(xué)、清華大學(xué)等校任數(shù)學(xué)教授，聲譽卓著．1931年再度去法國留學(xué)，獲博士學(xué)位(1933)，以研究無窮級整函數(shù)與亞純函數(shù)而聞名于世．陳建功(1893 1971)和蘇步青(1902一)先后畢業(yè)于日本東北帝國大學(xué)數(shù)學(xué)系．他們分別于1930年和1931年回國，在浙江大學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)教授．由于銳意進取，培植青年，使浙江大學(xué)成為我國南方最重要的數(shù)學(xué)中心．陳建功以研究三角函數(shù)論、單葉函數(shù)論及函數(shù)逼近論著稱．他在1928年發(fā)表的《關(guān)于具有絕對收斂傅里葉級數(shù)的函數(shù)類》，指出：有絕對收斂三角級數(shù)的函數(shù)的充要條件是楊(Young)氏函數(shù)，此結(jié)果與英國數(shù)學(xué)大家哈代(G．H．Hardy)和李特爾伍德(J． E． Littlewood)同時得到．這可以標(biāo)志中國數(shù)學(xué)研究的論文已能達到國際水平．蘇步青以研究射影微分幾何而著稱于世．他的一系列著作《射影曲線概論》，《一般空間微分幾何》、《射影曲面概論》等，在國內(nèi)外都產(chǎn)生相當(dāng)影響，曾被稱為中國的微分幾何學(xué)派．1952年，他們從浙江大學(xué)轉(zhuǎn)到上海復(fù)旦大學(xué)，使復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基地．1930年前后，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系居于中國數(shù)學(xué)發(fā)展的中心地位．系主任是熊慶來，鄭桐蓀是資深教授．另外兩位教授都在1928年畢業(yè)于美國芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系，獲博士學(xué)位．其中孫光遠(1897 1984)專長微分幾何，他招收了中國的第一名數(shù)學(xué)碩士生(陳省身)，楊武之(1898 1975)則專長代數(shù)和數(shù)論，以研究華林(Waring)問題著稱．這時的清華，有兩個杰出的青年學(xué)者，這就是來自南開大學(xué)的陳省身和自學(xué)成才的華羅庚．陳身省于1911年生于浙江嘉興．1926年入南開大學(xué)，1930年畢業(yè)后轉(zhuǎn)到清華，翌年成為孫光遠的研究生，專習(xí)微分幾何．1934年去漢堡大學(xué)，在布拉士開(W．Bla-schke)指導(dǎo)下獲博士學(xué)位(1936)，旋去巴黎，在嘉當(dāng)(E．Cartan)處進行訪問，得其精華．1937年回國后在西南聯(lián)大任教．抗日戰(zhàn)爭時期，受外爾(H．Weyl)之邀到美國普林斯頓高等研究院從事研究，以解決高維的高斯 邦內(nèi)(Gauss Bonnet)公式，提出后來被稱為 陳省身類 的重要不變量，為整體微分幾何奠定基礎(chǔ)，其影響遍及整個數(shù)學(xué)．抗日戰(zhàn)爭結(jié)束后返國，任中央研究院數(shù)學(xué)研究所代理所長，培植青年數(shù)學(xué)家．1949年去美國．1983年獲世界5高數(shù)學(xué)獎之一的沃爾夫獎(WilfPrize)．華羅庚(1910 1985)是傳奇式的數(shù)學(xué)家．他自學(xué)成才，1929年他只是江蘇金壇中學(xué)的一名職員，卻發(fā)表了《蘇家駒之代數(shù)的五次方程解法不能成立之理由》，此文引起清華大學(xué)數(shù)學(xué)教授們的注意，系主任熊慶來遂聘他到清華任數(shù)學(xué)系的文書，華羅庚最初隨楊武之學(xué)習(xí)數(shù)論，在華林問題上很快作出了成果，破例被聘為教員．1936年去英國劍橋大學(xué)，接受哈代的指導(dǎo)．抗日戰(zhàn)爭時期，華羅庚寫成《堆壘素數(shù)論》，系統(tǒng)地總結(jié)、發(fā)展與改進了哈代與李特爾伍德的圓法，維諾格拉多夫(И．М．Виноградов)的三角和估計方法，以及他本人的方法．發(fā)表至今已40年，主要結(jié)果仍居世界領(lǐng)先地位，仍是一部世界數(shù)學(xué)名著．戰(zhàn)后曾去美國．1950年返回中國，擔(dān)任中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的所長．他在數(shù)論，代數(shù)，矩陣幾何，多復(fù)變函數(shù)論以及普及數(shù)學(xué)上的成就，使他成為世界級的著名數(shù)學(xué)家．他的名字在中國更是家喻戶曉，成為 聰敏 、 勤奮 的同義語．三十年代初的清華大學(xué)，匯集了許多優(yōu)秀的青年學(xué)者．在數(shù)學(xué)系先后就讀的有柯召(1910 )，許寶騄(1910 1970)，段學(xué)復(fù)(1914 )，徐賢修(1911 )，以及物理系畢業(yè)、研究應(yīng)用數(shù)學(xué)的林家翹(1916 )等等，后來均成為中國數(shù)學(xué)的中堅以及世界著名數(shù)學(xué)家．許寶騄是中國早期從事數(shù)理統(tǒng)計和概率論研究，并達到世界先進水平的一位杰出學(xué)者．1938 1945年間，他在多元分析與統(tǒng)計推斷方面發(fā)表了一系列論文，以出色的矩陣變換技巧，推進了矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用，他對高斯 馬爾可夫模型中方差的最優(yōu)估計的研究，是許多研究工作的出發(fā)點．50年代以來，為培養(yǎng)新中國的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)者和開展概率統(tǒng)計研究作出許多貢獻．林家翹是應(yīng)用數(shù)學(xué)家，清華大學(xué)畢業(yè)后去加拿大，美國留學(xué)．從師流體力學(xué)大師馮 卡門(von Karman)．1944年，他成功地解決了爭論多年的平行平板間的流動穩(wěn)定性問題，發(fā)展了微分方程漸近理論的研究．60年代開始，研究螺旋星系的密度波理論，解釋了許多天文現(xiàn)象．北京大學(xué)是我國的最高學(xué)府．20年代軍閥混戰(zhàn)時期，因經(jīng)費嚴重不足，學(xué)術(shù)水平不及由美國退回庚款資助的清華大學(xué)數(shù)學(xué)系．進入30年代，以美國退回庚款為基礎(chǔ)的中華文化教育基金會也撥款資助北京大學(xué)，更由于江澤涵(1902 )在哈佛大學(xué)獲博士學(xué)位后加盟北大，程毓淮(1910 )獲德國哥廷根大學(xué)博士學(xué)位后來北大任教，陣容漸強．學(xué)生中有后來成名的樊畿(1916 )，王湘浩(1915 1993)等．三十年代的中國青年數(shù)學(xué)家還有曾炯之(1897 1943)，他在哥廷根大學(xué)跟隨杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家諾特(E．Noether)研究代數(shù)，1933年完成關(guān)于 函數(shù)域上可除代數(shù) 的兩個基本定理，后又建立了擬代數(shù)封閉域?qū)哟握摚懵曋型猓谷諔?zhàn)爭時期因貧病在西昌去世．周煒良(1911 )為清末民初數(shù)學(xué)家周達之子，家庭富有，在美國芝加哥大學(xué)畢業(yè)后，轉(zhuǎn)到德國萊比錫大學(xué)，在范 德 瓦爾登(Van der Waerden)指導(dǎo)下研究代數(shù)幾何，于1936年獲博士學(xué)位，一系列以他名字命名的 周坐標(biāo) 周形式 、 周定理 周引理 ，使他享有盛譽．抗日戰(zhàn)爭勝利后去美國約翰 霍普金斯大學(xué)任教，直至退休．1935年，中國數(shù)學(xué)會在上海成立．公推胡敦復(fù)(1886 1978)為首屆董事會主席．會上議決出版兩種雜志．一種是發(fā)表學(xué)術(shù)論文的《中國數(shù)學(xué)會學(xué)報》，后來發(fā)展成今日的《數(shù)學(xué)學(xué)報》，一種是普及性的《數(shù)學(xué)雜志》，相當(dāng)于今之《數(shù)學(xué)通報》．中國數(shù)學(xué)會的成立，標(biāo)志中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)建立，并將很快走向成熟．最早訪問中國的著名數(shù)學(xué)家是羅素(B．A．W．Russel)，他于1920年8月到達上海，在全國各地講演數(shù)理邏輯，由趙元任做翻譯，于次年7月離去．法國數(shù)學(xué)家班勒衛(wèi)(P．Painleve)和波萊爾(E．Bovel)也在20年代未以政治家身份訪華．1932年，德國幾何學(xué)家布拉希開(W．Blaschk)到北京大學(xué)講學(xué)，陳省身、吳大任等受益很多．1932 1934年間，漢堡大學(xué)年輕的拓撲學(xué)家斯披涅兒(E．Sperner)也在北京大學(xué)講課．1934年4月，美國著名的常微分方程和動力系統(tǒng)專家伯克霍夫(G.D.Birkhoff)也到過北大．此后來華的是美國哈佛大學(xué)教授奧斯古德(W．F．Osgood)，他在北京大學(xué)講授函數(shù)論(1932 1934)．控制論創(chuàng)始人，美國數(shù)學(xué)家維納(N．Wiener)來清華大學(xué)電機系訪問，與李郁榮(1904 )合作研究電網(wǎng)絡(luò)，同時在數(shù)學(xué)系講授傅里葉變換理論等．維納于1936年去挪威奧斯陸參加國際數(shù)學(xué)家大會，注明他是清華大學(xué)的代表．抗日戰(zhàn)爭開始之后，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展進入一個新時期．一方面是異常清苦的戰(zhàn)時生活，與外界隔絕的學(xué)術(shù)環(huán)境；另一方面則是無比高漲的研究熱情，碩果累累的科學(xué)成就．在西南聯(lián)合大學(xué)(北大、清華、南開)的數(shù)學(xué)系，姜立夫、楊武之、江澤涵等領(lǐng)導(dǎo)人正值中年，而剛滿30歲的年輕教授如華羅庚、陳省身以及許寶騄等，都已達到當(dāng)時世界的先進水平．例如華羅庚的《堆壘素數(shù)論》，陳省身證明高斯 邦內(nèi)公式，許寶騄發(fā)展矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用，都產(chǎn)生于這一時期．他們培養(yǎng)的學(xué)生，如王憲鐘、嚴志達、吳光磊、王浩、鐘開萊，日后都成為著名數(shù)學(xué)家．與此同時，位于貴州湄潭的浙江大學(xué)，也由陳建功、蘇步青帶領(lǐng)，造就出程民德、熊全治、白正國、楊忠道等一代數(shù)學(xué)學(xué)者．如果說，在20年代，中國創(chuàng)辦的大學(xué)已能培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)學(xué)士，那么在30年代的北大、清華、浙大等名校，已能培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)碩士，而到抗日戰(zhàn)爭時期的40年代，從教員的學(xué)術(shù)水準，開設(shè)的課程以及學(xué)生的成績來看，應(yīng)該說完全能培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)博士了．從1917年中國人第一次獲得數(shù)學(xué)博士，到實際上具備培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)博士的水平，前后不過20余年的時間，發(fā)展不可謂不快．1944年，中央研究院決定成立數(shù)學(xué)研究所，由姜立夫任籌備主任．不久，抗日戰(zhàn)爭勝利，于1946年在上海正式成立數(shù)學(xué)研究所，由姜立夫任所長．因姜立夫出國考察，遂由陳省身代理所長．陳省身辦所的宗旨是培養(yǎng)青年人，首先讓他們研修拓撲學(xué)，以便迅速達到當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿．這時在所內(nèi)工作的研究人員中，有王憲鐘、胡世楨、李華宗等已獲博士學(xué)位的年輕數(shù)學(xué)家，更有吳文俊、廖山濤、陳國才、楊忠道、葉彥謙、曹錫華、張素誠、孫以豐、路見可、陳杰等剛從大學(xué)畢業(yè)不久的學(xué)生．1949年成立中華人民共和國之后，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)有了長足的發(fā)展．原來已有建樹的解析數(shù)論、三角級數(shù)論、射影微分幾何等學(xué)科繼續(xù)發(fā)展．在全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)的50年代，與國民經(jīng)濟發(fā)展有密切關(guān)系的微分方程、概率論、計算數(shù)學(xué)等學(xué)科獲得應(yīng)有的重視，使整個數(shù)學(xué)獲得全面和均衡地進步．高等學(xué)校數(shù)學(xué)系大規(guī)模招生，嚴謹?shù)慕虒W(xué)方式培養(yǎng)出大批訓(xùn)練有素的數(shù)學(xué)工作者．在這一時期內(nèi)，作出重要貢獻的有吳文俊(1919 )．他于1940年在交通大學(xué)畢業(yè)，后去法國留學(xué)，獲博士學(xué)位．他在拓撲學(xué)方面的主要貢獻有關(guān)于施蒂費爾 惠特尼(Stiefel-Whit-ney)示性類的吳(文俊)公式，吳(文俊)示性類，以及關(guān)于示嵌類的研究．70年代起，吳文俊提出了使數(shù)學(xué)機械化的綱領(lǐng)，其一個自然的應(yīng)用是定理的機器證明，這項工作現(xiàn)在正處于急劇發(fā)展中．吳文俊的數(shù)學(xué)機械化思想來源于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)．因此，吳文俊的工作顯示出中國古算法與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的有機結(jié)合，具有濃烈的中國特色．50年代以來的一些青年數(shù)學(xué)家的工作值得注意，如陳景潤、王元、潘承洞在數(shù)論方面的研究，特別是對哥德巴赫猜想的重大推進．楊樂、張廣厚關(guān)于亞純函數(shù)值分布論的研究，谷超豪在微分幾何與非線性偏微分方程方面的研究，夏道行關(guān)于線性算子譜論和無限維空間上調(diào)和分析的研究，陸啟鏗、鐘家慶在多復(fù)變函數(shù)論與微分幾何方面的研究，都有國際水平的成果．80年代以來，還有姜伯駒(不動點理論)、張恭慶(臨界點理論)、陸家羲(斯坦納三元素)等人的工作，十分優(yōu)秀．廖山濤在微分動力系統(tǒng)研究上作出了獨特的貢獻．中國數(shù)學(xué)家參加國際數(shù)學(xué)家大會(International Cong-ress of Mathematics)始自1932年．北京數(shù)學(xué)物理學(xué)會的熊慶來和上海交通大學(xué)的許國保作為中國代表參加了那年在蘇黎世舉行的會議．中山大學(xué)的劉俊賢則是參加1936年奧斯陸會議的唯一中國代表(不計算維納代表清華大學(xué)與會)．此后由于代表權(quán)問題，中國大陸一直未派人與會．華羅庚、陳景潤收到過到大會作報告的邀請．1983年，中國科學(xué)院計算數(shù)學(xué)家馮康被邀在華沙大會上作45分鐘的報告，都因代表權(quán)問題未能出席．1986年，中國在國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟(IMU)的代表權(quán)問題得到解決：中國數(shù)學(xué)會有三票投票權(quán)，位于中國臺北的數(shù)學(xué)會有兩票投票權(quán)．這年在美國加州伯克萊舉行的大會上，吳文俊作了45鐘報告(關(guān)于中國數(shù)學(xué)史)．1990年在東京舉行國際數(shù)學(xué)家大會，中國有65名代表與會(不包括臺北)．80年代以來，中國數(shù)學(xué)研究發(fā)展很快．從原來的中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所又分立出應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所和系統(tǒng)科學(xué)研究所．由陳省身擔(dān)任所長的南開數(shù)學(xué)研究所向全國開放，發(fā)揮了獨特的作用．北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)等著名學(xué)府也成立了數(shù)學(xué)研究所．這些研究機構(gòu)的數(shù)學(xué)研究成果正在逐漸接近國際水平．到1988年為止，在國外出版的中國數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)著作已有43種．《數(shù)學(xué)年刊》《數(shù)學(xué)學(xué)報》都相繼出版了英文版，在國外的影響日增，1990年收入世界數(shù)學(xué)家名錄的中國學(xué)者有927名．先后在中國國內(nèi)設(shè)立的數(shù)學(xué)最高獎有陳省身獎和華羅庚獎．1990年起，為了支持數(shù)學(xué)家率先趕上世界先進水平的共同愿望，除了正常的自然科學(xué)基金項目之外，又增設(shè)了專項的天元數(shù)學(xué)基金．這一措施也大大促進了數(shù)學(xué)研究水平的提高．在中國的臺灣省，中央研究院的數(shù)學(xué)研究所是主要的數(shù)學(xué)研究機構(gòu)，曾由周鴻經(jīng)、樊畿等多人主持過．臺灣大學(xué)集中了許多著名的數(shù)學(xué)教授．早期有施拱星、許振榮等．臺灣學(xué)生在美國獲博士學(xué)位并在美國各大學(xué)數(shù)學(xué)系任教的學(xué)者很多，有較大影響的有項武忠、項武義等人．香港地區(qū)的數(shù)學(xué)教育在第二次世界大戰(zhàn)之前沒有多少力量．戰(zhàn)后最有影響的是幾何學(xué)家黃用諏，他從1948年起任香港大學(xué)教授，又擔(dān)任過教務(wù)長和副校長．從香港大學(xué)和中文大學(xué)培養(yǎng)出一批有世界影響的數(shù)學(xué)家，其中包括榮獲菲爾茲獎的丘成桐，以及肖蔭堂、陳紹遠等著名數(shù)學(xué)家．
解放軍文職招聘考試阿基米德對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:12:47阿基米德對數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)是數(shù)學(xué)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，近代數(shù)學(xué)史家貝爾(E．T．Bell，1883---1960)說： 任何一張列出有史以來三個最偉大的數(shù)學(xué)家的名單中，必定包括阿基米德，另外兩個通常是牛頓和高斯．不過以他們的豐功偉績和所處的時代背景來比，拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠來比較，還應(yīng)首推阿基米德． 阿基米德的名字在他同時代的人們中成為賢明的象征，他會用簡單的方法解最難的問題．古希臘著名的作家和歷史學(xué)家普魯塔克(Plutarch，公元前1世紀)說：把這樣困難的題目解決得如此簡單和明白，在數(shù)學(xué)里沒有聽到過，假如有誰嘗試一下自己解這些題目，他會什么也得不到．但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就會立刻得出這樣的印象，這個解法他自己也會找到．阿基米德用如此容易和簡明的方法把我們引向目的．阿基米德終生傾心對科學(xué)的研究，常常沉浸于忘我的思考之中，普魯塔克曾寫道：阿基米德廢寢忘食，完全忽視關(guān)心自己的身體．經(jīng)常要強迫他去洗澡，在洗澡中，擦上香油膏，然而就在這時，他用手指在自己擦上油膏的身體上畫幾何圖形．古羅馬建筑師維脫羅衛(wèi)(Vitruvius，公元前2世紀)記述的阿基米德發(fā)現(xiàn)浮體規(guī)律的情景，令人感嘆不已．有一次敘拉古的亥厄洛(Hieron)王讓人制造純金的皇冠．做成后國王懷疑是否完全用純金制成，便請素稱多能的阿基米德來鑒定．阿基米德曾長時間地思考解決的方法，正在苦悶之中，他到公共浴池洗澡，當(dāng)浸入裝滿水的浴盆中時，水漫溢到盆外，而身體重量頓覺減輕．于是，他忽然想到不同質(zhì)料的東西，雖然重量相同，但因體積不同，排去的水必不相等．根據(jù)這一道理，不僅可以判斷皇冠是否摻有雜質(zhì)，而且知道偷去黃金的重量．這次成功的發(fā)現(xiàn)使阿基米德大吃一驚，他光著身子跑出浴池，大聲喊： 我找到了 ．經(jīng)過仔細地實驗，他終于發(fā)現(xiàn)了流體靜力學(xué)的基本原理： 阿基米德原理 ---物體在液體中減輕的重量，等于排去液體的重量．在阿基米德一生的最后幾年中，表現(xiàn)出了真摯的愛國熱情．他為祖國的安危獻出了自己全部力量和智慧．當(dāng)羅馬軍隊首領(lǐng)馬塞拉斯率領(lǐng)大軍進攻敘拉古時，阿基米德發(fā)揮了自己的聰明才智，制造新的機械對抗羅馬當(dāng)時先進的軍事設(shè)施．他制造了許多武器，做好在任何情況下?lián)敉藬橙说臏蕚洌魯橙穗x城市很遠，便用巨大的遠射程投射機器，發(fā)射大量的 重炮彈 和 火箭 ，擊敗敵人的戰(zhàn)船．當(dāng)阿基米德發(fā)覺炮彈落得太遠，不能擊中船只時，便使用了適合較小距離的投射機器．這樣，使羅馬軍隊膽戰(zhàn)心驚，以致他們無力再向前推進．希臘文獻記載，當(dāng)羅馬兵船靠近城下，阿基米德用巨大火鏡反射日光使兵船焚燒．另一種說法是他用投火器，將燃燒著的東西彈出去，燒毀敵人的戰(zhàn)船．總之，阿基米德竭盡全力，發(fā)明各種新式器械，給羅馬軍隊以沉重的打擊，為保衛(wèi)祖國作出了重大貢獻．后來，終因叛徒的出賣，敘拉古城失守了．一種說法是阿基米德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于數(shù)學(xué)的深思，埋頭畫幾何圖形．當(dāng)一個羅馬士兵沖到他面前時，阿基米德嚴肅地說： 走開，不要動我的圖． 羅馬士兵聽了，覺得受到污辱，就拔劍刺死了阿基米德．終年75歲．根據(jù)阿基米德生前遺囑，在墓碑上刻著球內(nèi)切于圓柱的圖形，象征著他特別珍視的發(fā)明．阿基米德在數(shù)學(xué)中做出很多貢獻，他的許多著作的手稿一直保存到現(xiàn)在．一些數(shù)學(xué)史家都把他的原著譯成現(xiàn)代文字．例如，希思的英譯本，茲瓦利那的德譯本，維爾 埃斯克(P．Ver．Ee－cke)的法譯本，還有荷蘭的迪克特赫斯(E．J．Dijksterhuis)的名著《阿基米德》．其著作涉及的范圍很廣，也說明他對前人在數(shù)學(xué)中的一切發(fā)現(xiàn)具有淵博的知識．保存下來的阿基米德著作多半是幾何內(nèi)容的著作，也有一部分力學(xué)和計算問題的著作．主要是《論球與圓柱》(On the Sphere and Cylin der)，《論拋物線求積法》(On Quadrature of the Parabola)，《圓的度量》(Measurement of a Circle)，《論螺線》(OnSpirals)，《論平板的平衡》(On Plane Equilibriums)，《論錐型體與球型體》(On Conoids Spheroids)，《砂粒計算》(The Sand Reckoner)，《論方法》(On Method)(阿基米德給厄拉托塞的書信中，關(guān)于幾何學(xué)的某些定理)，《論浮體》(On Floating Bodies)，《引理》．在這些著作中的幾何方面，他補充了許多關(guān)于平面曲線圖形求積法和確定曲面所包圍體積方面的獨創(chuàng)研究．在這些研究中，他預(yù)見到了極微分割的概念，這個觀念在17世紀的數(shù)學(xué)中起到了重要作用，其本身就是微積分的先聲，但缺乏極限概念．阿基米德的求積法蘊育著積分思想的萌芽，利用這種方法，發(fā)現(xiàn)了定理阿基米德研究了曲線圖形求積的問題，并且用窮竭法建立了這樣的結(jié)果： 任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形(即拋物線)，下面是阿基米德的簡略證明，可以揭示他的研究方法．AQ1Q4是一拋物線弓形，拋物線頂點為A(如圖3．14)．Q1Q4交拋物線的軸于O點．Q1O和Q4O各在Q2和Q3處平分，作圖中所示的各線段就可完成圖形．現(xiàn)在，Q1O2＝4Q2O2＝4BC2，AO＝4AC，因此BQ2＝3AC．采用同樣方法重復(fù)把Q1Q2，Q2O平分就可證明(1)式的右方加上等．在這些線上不斷這樣做下去，就可證明拋物線弓形面積是這里△是指△AQ1O4．然而阿基米德沒有求極限的觀念，他是用歸謬法來證明他的結(jié)論的．這種證法的要點是，如果所求面積不等于給定的面積S，它就一定同時大于它又小于它．而這是不合理的，由此，推知拋物線弓形的面積等于阿基米德在《圓的度量》(Measurement of acircle)一文中，利用外切與內(nèi)接96邊形求得圓周率 ：史上最早給出的關(guān)于圓周率的誤差估計．在進行證明時，阿基米德避免了借助無窮小量這個概念，因為這個概念一直是希臘人所懷疑的．他考慮了內(nèi)接多邊形和外切多邊形．他確立這個基本原理的方法是說明并證明： 給定二不等量，則不論大量與小量之比如何接近1，都有可能：(1)求出兩條直線，使得較長的與較短的之比更小(大于1)；(2)作一圓或扇形的相似外切多邊形和內(nèi)接多邊形，使得外切多邊形的周長或面積，與內(nèi)接多邊形的周長或面積之比小于給定的比 ．然后就像歐幾里得所做過的那樣，他證明如果不斷把邊數(shù)加倍，最后會留下一些弓形，它們加起來比任何指定的面積都要?。⒒椎聦Υ俗隽艘稽c補充，即指出若把外切多邊形的邊數(shù)增加到足夠多，就能使多邊形的面積與圓的面積之差，小于任何給定的面積．阿基米德還研究了螺線，撰寫了《論螺線》一書，有人認為，從某種意義來說，這是阿基米德對數(shù)學(xué)的全部貢獻中最出色的部分．許多學(xué)者都在他的作螺線切線的方法中預(yù)見到了微積分方法．值得稱道的是，他用運動的觀點定義數(shù)學(xué)對象，如果一條射線繞其端點勻速旋轉(zhuǎn)，同時有一動點從端點開始沿射線作勻速運動，那么這個點就描出一條螺線．這種螺線后來稱為 阿基米德螺線 ．螺線有一個基本性質(zhì)，把矢徑的長度和初始線從初始位置旋轉(zhuǎn)時所通過的角度聯(lián)系起來．此基本性質(zhì)是以命題14出現(xiàn)的，現(xiàn)在都以r＝a 這個方程來表示之．阿基米德然后證明了，在第一個周轉(zhuǎn)和初始線之間所包圍的面積，亦即在矢徑O與2寫道： 我認為螺線和回到原處的直線所圍的面積，等于以該固定點作 有一直線在螺線的末端與螺線相切 并從固定端另作一直線垂直于旋轉(zhuǎn)一周后返回到原處的直線，以致與切線相遇，我認為這樣做成的與切線相遇的直線，就等于這個圓的圓周 ．此即為《論螺線》一書中命題24．阿基米德在《砂粒計算》(論數(shù)砂)著作中，設(shè)計出了一種表示大數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)，能表示超出當(dāng)時希臘計數(shù)系統(tǒng)所能表示的數(shù)．在阿基米德之前，希臘人的計算擴大到不超過10000，并將10000叫做無數(shù)之多．阿基米德把無數(shù)之多當(dāng)作一種新的單位，把無數(shù)之多引入計算，并且提出了更高位的單位．據(jù)說阿基米德向希臘數(shù)學(xué)家們提出過一個 群牛問題 ．實質(zhì)上要從7個方程中，得出8個正整數(shù)解，最后歸結(jié)為一個二次不定方程x2－472949y2＝1，這個方程的解的位數(shù)相當(dāng)大．《引理》(Liber Assumptorum)一書是阿基米德最早的著作，其中含有15個命題，例如：命題2，如果做正方形的外接圓與內(nèi)切圓，那么外接圓的面積等于內(nèi)切圓面積的兩倍．命題3，如果在圓內(nèi)作兩條相交成直角的弦，那么由交點分成的4條線段的平方和等于直徑的平方．在《論浮體》(on Floating Bodies)一文中，阿基米德首先給出了比重比流體小的物體、相同的物體、大的物體浮力的法則，這確實是一部具有時代意義的杰作．阿基米德在數(shù)學(xué)的創(chuàng)作中，運用了很多獨到的方法．尤其他根據(jù)力學(xué)的原理發(fā)現(xiàn)問題之法，被整理成《阿基米德方法》(The Method of Archimedes)．1906年海堡(J． L．Heiberg)在君士坦丁堡(Constantinople，現(xiàn)稱伊斯坦布爾(lstanbul)，土耳其最大城市)發(fā)現(xiàn)阿基米德寫給厄拉托塞(Eratosthenes，約公元前274---194年)的信以及阿基米德其他著作的傳抄本，記述了阿塞米德結(jié)合靜力學(xué)和流體力學(xué)研究大量的關(guān)于計算長度、面積、體積和重心等有關(guān)幾何問題．其要點是：體積是由面積構(gòu)成，面積是由彼此平行的直線構(gòu)成．每條直線都有重量，而且與它們的長度成正比．因而可以把問題歸結(jié)于使未知的幾何圖形與已知的幾何圖形相互平衡以求重心，其中利用杠桿原理確定拋物弓形面積，球和球冠面積，旋轉(zhuǎn)雙曲體體積就是例證．實際上，這是通往積分的較快的迂回之路．阿基米德信心百倍地預(yù)言： 一旦這種方法確立之后，有些人或者是我的同代人，或者是我的后繼者，就會利用這個方法又發(fā)現(xiàn)另外一些定理，而這些定理是我所預(yù)想不到的． 阿基米德為了能在數(shù)學(xué)中確立發(fā)現(xiàn)問題的方法，并給出了邏輯證明．阿基米德的預(yù)言，終于在近2000年之后，得以實現(xiàn)．18世紀，丹尼爾 伯努利(Da－niel Bernoulli)由物理知識推測到了三角級數(shù)形式的弦振動的微分方程的一般解．19世紀中葉黎曼(G．F．B．Riemann)由電學(xué)理論確定在每一個封閉的黎曼曲面上都存在著通常有解的代數(shù)函數(shù)．阿基米德作出的所有結(jié)論都是在沒有代數(shù)符號的情況下獲得的，使證明的過程頗為復(fù)雜，但他以驚人的獨創(chuàng)性，將熟練的計算技巧和嚴格的證明融為一體，并將抽象的理論與工程技術(shù)的具體應(yīng)用緊密結(jié)合起來，將希臘數(shù)學(xué)推向一個新階段．由于阿基米德在科學(xué)研究中，注意在實踐中洞察事物的各種現(xiàn)象，并透過現(xiàn)象認清本質(zhì)，然后通過嚴格的論證，使經(jīng)驗事實上升為系統(tǒng)的理論，因此，阿基米德在天文學(xué)、力學(xué)等方面也作出了重大貢獻．阿基米德一生酷愛天文學(xué)，但遺憾的是他關(guān)于天文學(xué)的著作沒有保留下來，根據(jù)希達克斯(Syntaxis)的記載，為了進行天文觀測，阿基比較精確的．并用儀器測量太陽的視角直徑等，據(jù)說阿基米德撰寫過《天文儀器的制作》(On the mak－ing of spheres)一書，現(xiàn)已失傳．總之，阿基米德的所有名著都以精確和嚴謹著稱．正如數(shù)學(xué)史家希思所說， 這些論著毫無例外地都是數(shù)學(xué)論文的紀念碑．解題計劃的逐步啟示，命題次序的巧妙排列，嚴格排除與目的沒有直接關(guān)聯(lián)的一切東西，對整體的潤飾---其完美性所給人的印象是如此之深，以致在讀者心中能產(chǎn)生一種近乎敬畏的感情 ．
解放軍文職招聘考試朱世杰及元代數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:29:09朱世杰及元代數(shù)學(xué)一、元初數(shù)學(xué)成就1．王恂的數(shù)學(xué)工作王恂(1235 1281)，元代數(shù)學(xué)家．字敬甫，唐縣(今屬河北)人．他 六歲就學(xué)，十三歲學(xué)九數(shù)，輒造其極 ．后從劉秉忠學(xué)，官至太史令．至元十七年(1280)與天文學(xué)家郭守敬(1231 1316)等共同編成《授時歷》，其中的數(shù)學(xué)工作主要是王恂作的．唐代張遂制訂歷法時，假定太陽作勻加速運動，所以使用二次內(nèi)插法．但實際上，太陽運行的加速度是不斷變化的．在《授時歷》中，王恂把太陽、月亮及五星的視行度當(dāng)作時間的三次函數(shù)，采用三次內(nèi)插法來求函數(shù)值，收到更好效果．但確定天體位置需要使用赤道坐標(biāo)和黃道坐標(biāo)，王恂之前是直接通過天文觀測來確定這兩種坐標(biāo)的．王恂首先注意到兩種坐標(biāo)的數(shù)學(xué)關(guān)系，提出如下問題：已知太陽的 黃道積度 ，求 赤道積度 和 赤道內(nèi)外度 ．如圖8．16，設(shè)A為春分點，D為夏至點，其中d為直徑，BN OC，CP OE．只要測得黃道坐標(biāo)，便可利用上述公式及其他有關(guān)知識推出相應(yīng)的赤道坐標(biāo)，從而使人們經(jīng)過較少的實測，得到較多的結(jié)果．2．趙友欽的割圓術(shù)趙友欽，元代天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家．字子公，號緣督先生，鄱陽(今江西鄱陽)人，生卒年不詳．所著《革象新書》是一部天文數(shù)學(xué)著作．作圓內(nèi)接正方形，然后不斷倍增邊數(shù)，依次求得各內(nèi)接正多邊形邊長(圖8．17)． 置第十二次之小弦以第十二次之曲數(shù)一萬六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸徑之周圍也．周率近似值中最準確的一個．趙友欽說： 自一、二次求之以至一十二次，可謂極其精密．若節(jié)節(jié)求之，雖至千萬次，其數(shù)終不窮． 可見他不僅認識到圓內(nèi)接正多邊形的極限位置是圓，而且認識到極限是一個不可窮盡的過程，這種思想與現(xiàn)代極限觀念相當(dāng)接近．趙友欽還進一步揭示了方、圓關(guān)系，說： 要之方為數(shù)之始，圓為數(shù)之終．圓始于方，方終于圓． 這種 曲直互通 的思想是很深刻的，他已認識到方可轉(zhuǎn)化為圓，而轉(zhuǎn)化的條件便是取極限．二、朱世杰生平朱世杰，元代數(shù)學(xué)家．字漢卿，號松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不詳．元統(tǒng)一中國后，朱世杰曾以數(shù)學(xué)家的身份周游各地二十余年，向他求學(xué)的人很多，他到廣陵(今揚州)時 踵門而學(xué)者云集 ．朱世杰全面繼承前人的數(shù)學(xué)成果，他吸收了高次方程的數(shù)值解法，又吸收了北方的天元術(shù)及南方的各種日用算法、數(shù)學(xué)口訣等，在此基礎(chǔ)上進行了創(chuàng)造性研究，寫成以總結(jié)和普及當(dāng)時各方面數(shù)學(xué)知識為宗旨的《算學(xué)啟蒙》(三卷)和四元術(shù)的代表作《四元玉鑒》(三卷)，先后于1299年和1303年刊印．朱世杰是元代最杰出的數(shù)學(xué)家，清羅士琳(1774 1853)說他 兼包眾有，充類盡量，神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上． 《四元玉鑒》的成書則標(biāo)志著宋元數(shù)學(xué)達到最高峰．美國科學(xué)史家薩頓(G．Sarton)稱贊該書 是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，也是中世紀的杰出數(shù)學(xué)著作之一．三、《算學(xué)啟蒙》《算學(xué)啟蒙》的內(nèi)容由淺入深，次第謹嚴，從一位數(shù)乘法開始，一直講到當(dāng)時的最新數(shù)學(xué)成果 天元術(shù)，形成一個完整體系，內(nèi)容包括多位數(shù)乘法、分數(shù)四則運算、面積和體積計算、比例問題、垛積術(shù)、盈不足術(shù)、線性方程組、高次方程解法等．尤其引人注目的是，卷首 總括 中給出一整套數(shù)學(xué)概念及運算法則，作為全書的理論基礎(chǔ)．其中包括正負數(shù)乘法法則及倒數(shù)概念．朱世杰明確指出： 同名(號)相乘為正，異名相乘為負． 又指出： 平除長為小長，長除平為小平． 小長平相乘得一步為小積． 這便給出倒數(shù)的基本性質(zhì)在《算學(xué)啟蒙》中，朱世杰借助輔助未知數(shù)解線性方程組，這在數(shù)學(xué)史上還是首次．例如卷下 方程正負門 第五題，依術(shù)列方程組如下(改用現(xiàn)代符號)：這種方法對于簡化運算程序是很有意義的，系數(shù)越復(fù)雜，設(shè)輔助未知數(shù)的方法就越有用．另外，書中把天元術(shù)廣泛用于各種面積和體積問題，導(dǎo)出許多高次方程，這說明天元術(shù)在李冶的基礎(chǔ)上有了進一步的發(fā)展．朱世杰還致力于算法研究，給出一些新的公式，如 開方釋鎖門 給出根式運算法則其中n，a，b為自然數(shù)，n 2．《算學(xué)啟蒙》為《四元玉鑒》提供了必要的預(yù)備知識，正如羅士琳所說，該書 似淺實深 ，與《四元玉鑒》 相為表里 ．四、《四元玉鑒》《四元玉鑒》的主要成就是四元術(shù)，即四元高次方程組的建立和求解方法．在他之前，已有李德載《兩儀群英集臻》討論二元術(shù)，劉大鑒《乾坤括囊》討論三元術(shù)．在此基礎(chǔ)上，朱世杰 演數(shù)有年，探三才之賾，索九章之隱，按天、地、人、物立成四元 (《四元玉鑒》后序)，創(chuàng)立了舉世聞名的四元術(shù)．朱世杰的天、地、人、物，相當(dāng)于現(xiàn)在的x，y，z，u，其擺法如圖8 .18，例如方程-x2+3xy-2xz+x-y-z=0(卷下 三才變通 第1題)及2u4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下 四象朝元 第6題)分別擺成圖8.19和圖8.20的形狀．《四元玉鑒》共24門288問，所有問題都與方程或方程組有關(guān)．題目順序大體是先方程后方程組，先線性方程組后高次方程組．朱世杰創(chuàng)造了一套完整的消未知數(shù)方法，稱為四元消法．這種方法在世界上長期處于領(lǐng)先地位，直到18世紀，法國數(shù)學(xué)家貝祖(E.Bezoub,1730 1783)提出一般的高次方程組解法，才超過朱世杰．但朱世杰的消法要點僅見于書首 假令四草 ，其他各題均無草．書首還列有 今古開方會要之圖 、 四元自乘演段之圖 、 五和自乘演段之圖 和 五較自乘演段之圖 ，這些圖的作用也是統(tǒng)御全書．朱世杰說： 凡習(xí)四元者，以明理為務(wù)．必達乘除、升降、進退之理，乃盡性窮神之學(xué)也． 卷首各圖便是為 明理 而作，他說： 夫算中玄妙，無過演段．如積幽微，莫越認圖．其法奧妙，學(xué)者鮮能造其微．前明五和，次辨五較，自知優(yōu)劣也．《四元玉鑒》表明，朱世杰在方程領(lǐng)域取得重要成就．以前的方程都是有理方程，朱世杰則突破有理式的限制，開始討論無理方程．他不化為有理方程(見 左右逢源 第21題， 撥換截田 第18題， 四象朝元 第1題)．四元消法是朱世杰方程理論的核心．他通過方程組中不同方程的配合，依次消掉未知數(shù)，化四元式為一元式，即一元高次方程．三元式和四元式的消法稱為 剔而消之 ，即把全式剔分為二，進行相消．二元式的消法稱為 互隱通分相消 ．下面以二元三行式為例說明其消法．其中各系數(shù)是關(guān)于另一個未知數(shù)的多項式(可以是常數(shù))．欲消x2項，先以B2乘(1)式中x2項以外各項，再以A2乘(2)式中x2項以外各項，相減，得C1x＋C0＝0． (3)以x乘(3)，得C1x2＋C0x=0． (4)將(4)與(1)或(2)聯(lián)立，用同樣方法消去x2項，得D1x+D0＝0． (5)(3)與(5)聯(lián)立，便為二元二行式．朱世杰稱C1，D0為外二行，C0，D1為內(nèi)二行．內(nèi)二行乘積與外二行乘積相減，得C1D0-C0D1＝0．這便消去x，得到只含另一個未知數(shù)的一元方程了．《四元玉鑒》含二元問題36個，三元問題13個，四元問題7個．雖然用到四元術(shù)的題目不多，但它們卻代表了全書，也代表了當(dāng)時世界范圍內(nèi)方程組理論的最高水平． 四象朝元 第6題所導(dǎo)出的十四次方程是中國古算史上次數(shù)最高的方程．高階等差級數(shù)理論是書中另一成就．沈括的隙積術(shù)開了研究高階等差級數(shù)的先河，楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級數(shù)求和公式．朱世杰在這一領(lǐng)域作了總結(jié)性工作．在中卷 茭草形段 和下卷 果垛疊藏 中，他依次研究了一階至五階等差級數(shù)求和問題，不僅給出相應(yīng)的公式，而且發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，掌握了如下的三角垛統(tǒng)一公式從而奠定了垛積術(shù)的理論基礎(chǔ)．實際上，等差級數(shù)是幾階的，便可把上式中的p換為幾．朱世杰給出了p＝1，2， ，5的特例．他還發(fā)現(xiàn)垛積術(shù)與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系，在 如象招數(shù) 第5題中利用垛積術(shù)導(dǎo)出四次內(nèi)插公式(四次差為一非零常數(shù)，五次差為零)：其中 1， 2， 3， 4分別為一次差、二次差、三次差、四次差．由于朱世杰正確指出了公式中各項系數(shù)恰好是一系列三角垛的積，他顯然能夠解決更高次的內(nèi)插問題，從而把中國古代的內(nèi)插法推向一個新水平．在幾何方面，朱世杰也有一定的貢獻．自《九章算術(shù)》以來，中國就有了平面幾何與立體幾何，但一直到北宋，幾何研究離不開勾股和面積、體積．李冶開始注意到圓城圖式中各元素的關(guān)系，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形．朱世杰在李冶思想的基礎(chǔ)上，深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了平面幾何中的射影定理和特殊情形的弦冪定理．例如卷上 混積問元 第七題，如圖8．21，朱世杰得到公式易證等號左面等于h2，所以此式與射影定理h2＝ef等價．再如卷中 撥換截田 第十四題，如圖8．22，AB CD于E，朱世杰給出公式4CE ED＝AB2此式顯然是弦冪定理CE ED＝AE EB在兩弦垂直且有一弦為直徑時的特殊情形．五、宋元數(shù)學(xué)的外傳及衰落《算學(xué)啟蒙》出版后不久即傳到朝鮮和日本．在朝鮮李朝時期(14 16世紀)，《算學(xué)啟蒙》及《楊輝算法》都被作為朝廷選拔算官的基本書籍．兩書的朝鮮慶州府刻本(15世紀)一直保存至今．由于《算學(xué)啟蒙》在明代失傳，清羅士琳幸得朝鮮金始振翻刻本(1660)，于1839年在揚州重新出版，成為中國現(xiàn)存各版本的母本．《算學(xué)啟蒙》對日本的影響也很大，不少日本學(xué)者在研究此書的基礎(chǔ)上寫出專著，比較著名的有星野實宣《新編算學(xué)啟蒙注解》三卷(1672)、建部賢弘《算學(xué)啟蒙諺解大全》七卷(1690)等．宋元數(shù)學(xué)還曾傳到阿拉伯．13世紀旭烈兀①西征時，帶走了一批中國天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家．他征服波斯后支持納西爾丁(Na－sirad－Din，1201 1274)在馬拉蓋(Maraghen，今伊朗境內(nèi))建立了一座規(guī)模宏大的天文臺，并把帶去的中國學(xué)者留在天文臺和納西爾丁一起工作，這是中國數(shù)學(xué)傳入阿拉伯國家的一個途徑．阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西(al－kāshī，？ 1429)的《算術(shù)之鑰》(The Key of Arithmetic，1427)中有不少內(nèi)容與中國數(shù)學(xué)相同，如賈憲三角形、增乘開方法，以及和 百雞問題 極為類似的 百禽問題 等．他受到中國數(shù)學(xué)影響是可以肯定的，當(dāng)然不排除其獨立取得成果的可能性．在元代，阿拉伯?dāng)?shù)碼曾傳入中國，但并未被中國人接受．歐幾里得《幾何原本》也傳到上都(今內(nèi)蒙古正藍旗)，可惜沒有譯成中文，所以影響不大，不久便散失了．朱世杰之后，元代數(shù)學(xué)便開始走下坡路．明代數(shù)學(xué)理論水平遠不及宋元，天元術(shù)、四元術(shù)成為絕學(xué)．直到明末清初，由于西方數(shù)學(xué)的傳入及中國學(xué)者的努力，數(shù)學(xué)才有所回升．那么，宋元數(shù)學(xué)衰落的原因是什么呢？首先，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是依靠算籌的，雖然這是一種很有用的計算工具，但具有不可避免的局限性，因為它只適于計算而不適于證明，只能表示具體的量而不能表示抽象的量．這就限制了人們的抽象思維，限制了數(shù)學(xué)一般化程度的提高．宋元方程理論可以由天元術(shù)發(fā)展為四元術(shù)，但在籌算體系內(nèi)卻無法建立五元術(shù)或n元術(shù)，因為四個未知數(shù)已把 太 的上下左右占滿．這個例子便說明了算籌的局限性．更重要的是，人們無法利用算籌進行邏輯推理，也很難在籌算體系內(nèi)發(fā)展數(shù)學(xué)符號．但這些消極因素的總和，充其量是使數(shù)學(xué)停滯不前．而事實上，元末數(shù)學(xué)不僅沒前進，反而后退．造成這種狀況的原因就不在數(shù)學(xué)內(nèi)部，而在于社會了．當(dāng)時的政策是不利于科學(xué)發(fā)展的，尤其是八股取士制．1314年恢復(fù)科舉考試后，內(nèi)容以朱熹集注的《四書》為主，將數(shù)學(xué)內(nèi)容完全取消．不久，這種考試發(fā)展為 以四書五經(jīng)命題、八股文取士 的制度，引導(dǎo)知識分子遠離自然科學(xué)，嚴重束縛了讀書人的思想．知識分子們?yōu)榱斯γ娂娐耦^于《四書五經(jīng)》，只會在儒家經(jīng)典中尋章摘句，奢談三綱五常之類的封建倫理，哪里還顧得上數(shù)學(xué)及其他有實用價值的科學(xué)技術(shù)呢？正如元末丁巨所說： 時尚浮辭，動言大綱 士類以科舉故，未暇篤實． 八股取士制的危害，在明代愈演愈烈，顧炎武曾痛斥說： 開科取士，則天下之人日愚一日． 元末以后的社會思潮也不利于數(shù)學(xué)發(fā)展，成為官方哲學(xué)的理學(xué)完全摒棄了自然科學(xué)．理學(xué)家們大談天理、人倫，認為科學(xué)技術(shù)乃雕蟲小技，為君子所不齒，甚至譏笑研究數(shù)學(xué)的人是 玩物喪志 ．在這種社會環(huán)境中，數(shù)學(xué)由盛而衰就不奇怪了．
