解放軍文職招聘考試巴比倫的數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:07:38巴比倫的數(shù)學(xué)巴比倫人和埃及人一樣，是首先對數(shù)學(xué)的萌芽作出貢獻(xiàn)的民族，對其原始數(shù)學(xué)內(nèi)容的考證，大部分來自近百年來考古研究的結(jié)果．一、記數(shù)法與進(jìn)位制一百多年前，人們發(fā)現(xiàn)巴比倫人是用楔形文字(Cuneiform)來記數(shù)的．他們是用頭部呈三角形的木筆把字刻寫在軟泥板上，然后，用火燒或曬干使它堅(jiān)如石，以便保存下來進(jìn)行數(shù)學(xué)知識交流．由于字的形狀象楔子，所以人們稱為楔形文字．他們用垂直的楔形來表示1，如 ．用末端二個橫向楔形表示10，如 ．用記號 表示35．用記號 表示9，后來簡化為 ．以上可以看出，巴比倫人創(chuàng)建的數(shù)的體系與埃及、羅馬數(shù)字頗為相似．但是，值得我們注意的是巴比倫人已經(jīng)有了位值制的觀念，通常為60進(jìn)制．這種認(rèn)識的主要根據(jù)是地質(zhì)學(xué)家勞夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森開萊(現(xiàn)在的拉山或拉莎)發(fā)掘出漢穆拉比時代的泥板書，上面記載著一串?dāng)?shù)字，前7個是1，4，9，16，25，36，49，之后中斷，而在應(yīng)該是64的地方，看到的卻是1 4，其后接著寫出1 21，再后是2 24，直到最后寫的是58 1．這個數(shù)列只有假定其為60進(jìn)位時，才能很自然接續(xù)，即：1 4＝60＋4＝64=82，1 21=60＋21＝81＝92，58 1=58 60＋1＝3481＝592．應(yīng)該指出，巴比倫人的位值制有時也不甚明確；因?yàn)橥暾奈恢抵朴洈?shù)法，必須有表示零的記號，但在早期的泥板書上尚沒有發(fā)現(xiàn)零號．例如，(5 6 3)可表示5 602＋6 60＋3＝18363，也可表 下文來分析、確定．古巴比倫的60進(jìn)位法之產(chǎn)生年代是相當(dāng)久遠(yuǎn)的．但據(jù)有的材料記載，早期的蘇默人是不知道60進(jìn)位制的．從他們所用的數(shù)學(xué)符號中可以看出，大約在公元前3000年以前，是用以下記號來記數(shù)的：1，10，60的記號是用頭部是圓形的木筆刻成，而1和60的記號都是半圓形，只是大小不一樣，10的記號是圓形，600的記號是10和到了公元前2000年左右，開始使用楔形文字，以此又建立一套數(shù)的記號，不妨做如下比較：通過如上二種數(shù)碼的表示法之比較，不難看出，巴比倫采用60進(jìn)制是很自然的①．二、算術(shù)運(yùn)算由于巴比倫從1到59的數(shù)碼都是以1和10或更多一些數(shù)的記號為基本記號結(jié)合而成的，因此，在此范圍內(nèi)的加減法不過是加上或去掉某種記號罷了．巴比倫人對整數(shù)的乘法，采取了 分乘相加 的方法．例如，某數(shù)乘以27，他們先乘20，再乘7，然后把結(jié)果相加，最后得出結(jié)果．他們還造出了一些乘法表．(左邊是巴比倫人的記號，右邊用現(xiàn)代符號表示)巴比倫人在做整數(shù)除以整數(shù)時，采用了乘以倒數(shù)的方法，并且還造出了倒數(shù)表．巴比倫人研究了數(shù)的平方和開平方、立方和開立方的問題．當(dāng)方根是整數(shù)時，給出了準(zhǔn)確的值．對于其它方根，由于采用60進(jìn)位制，只能是近似值．并造出了簡單的平方、平方根、立方、立方根表．巴比倫人也曾給出了求a2＋b型的方根近似公式：數(shù)大．到了希臘時期，著名數(shù)學(xué)家阿基米德(Archi－medes)、海倫(Heron)創(chuàng)造出了平方后比原數(shù)小的近似公式．三、代巴比倫人不但具有數(shù)系和數(shù)字運(yùn)算的一些知識，他們也具有處理一般代數(shù)問題的能力．例如：在賽凱萊(Senkereh)出土的古巴比倫(漢穆拉比王朝時期)的原典AO8862，記載著下面的問題：(用現(xiàn)代語言敘述)一塊長方形土地面積加上長與寬之差為3.3①(即183)，而長與寬之和為27，這塊地的長、寬、面積各幾何？(1)古巴比倫人的解法：(按60進(jìn)制計(jì)算)27＋3.3=3.302＋27=2929 2＝14.3014；30 14；30＝3.30；153.30；15-3.30＝0；150；15的平方根是0；3014；30＋0；30=15 (長)14；30-0；30=14因?yàn)樵瓉硎菍?7加上2，現(xiàn)在應(yīng)從14減2，則寬是14－2= 12故得到，15 12＝3.0(面積)15-2＝133.0＋3＝3.讀者可以辨認(rèn)，以上例題的解法是從6行到29行之間，是用楔形文字書寫的．(2)如果用現(xiàn)代的列二元一次方程組的方法解，則很簡便．設(shè)長為x，寬為y，可列成如下方程組：從AO8862原典的最后一行的結(jié)果看出，x＝15，y＝12是滿足方程組(1)的解的．在前面解題時，實(shí)際上是用新的寬y"代替原寬y，即：y"=y+2，y=y"-2．使用如上這種代換方法，使問題簡單化了．代換后，可得到新的二元一次方程組：把方程組(2)的第1式加到方程組(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地寫著)27+3.3=3.302+27＝29之后，繼續(xù)解方程組(2)．從上邊的具體問題求解中，我們可以悟出解方程組的一般方法，用現(xiàn)代符號表示，可謂：其解為：巴比倫人求解的各個步驟是符合解方程組的一般方法的，但是，他們沒有給出求解的一般公式．在巴比倫人利用楔形文字撰寫的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由兩正方形并組成一個面積為1000，一正方形邊為另一正方形邊的巴比倫人是按如下方法求解的：(用現(xiàn)代符號表示)設(shè)兩個正方形邊長分別為x，y．得到一個正整數(shù)解為：x＝30．以上說明巴比倫人在漢穆拉比時代已經(jīng)掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算術(shù)方法求解．巴比倫人對簡單的三次和四次方程也求解過．例如在原典中有這樣的題目：一個立方體，其體積為長、寬、高分別為x、y、z，體積為V，實(shí)際上是求解方程組解此方程組，涉及算立方根問題，巴比倫人用數(shù)表來求解(見算術(shù)運(yùn)算部分的數(shù)表)．四、幾何在古巴比倫時期，常常把幾何問題化為代數(shù)問題來解決．在他們心目中，幾何似乎不占有重要位置．但是，在20世紀(jì)中葉布爾昂(E．M．Buuins)博士和魯達(dá)(M．Rutten)撰寫的《斯薩數(shù)學(xué)書》(Textes math matiques de Suse，M moiresMission arch ol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯薩出土的古巴比倫的楔形文字原典中，含有求正多邊形和圓的面積的近似公式，說明古巴比倫人對幾何問題也有一定的興趣．例如，在拉爾薩(Larsa)出土的古巴比倫原典VAT8512中，有下面的問題(用現(xiàn)代符號和語言敘述)．已知底邊b＝30的三角形，由平行于底的直線把其分成兩部分，即高分別為h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面積F1-F2＝S＝7.0 h2-h1=h＝20，求割線長(x)．由以上條件，可建立如下關(guān)系式：由圖2．3可知，比例式h2∶h1=x∶(b-x) (5)成立．根據(jù)以上條件，可解出x，即：由上可知，巴比倫人建立的關(guān)于x，h1，h2的關(guān)系式是正確的．但是，還沒有理由(證據(jù))說明以上是一種純粹代數(shù)的推演．?dāng)?shù)學(xué)史家尤伯爾(P．Huber)對(4)式做了如下解釋(Isis Vol46，p104)：如果在三角形一邊加一個長為h1＋h2的長方形，拼成一個上、下底邊長分別為c和a＝c＋b的梯形，延長割線x，把此梯形分成兩部分，如圖2．4其面積差為：(F1-F2)-c(h2-h1)＝s-ch．的面積分成二等分z，并給出(參考MKT I，p131)可得到(6)式的證明：按照尤伯爾的解釋，以上的解法思路是幾何學(xué)的思想，而不是代數(shù)的．巴比倫人很早就知道畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，并能應(yīng)用此定理解決具體的、比較簡單的問題，在古巴比倫的數(shù)學(xué)原典中有記載，并使用了1500年之久，直到賽萊烏科斯王朝時代(公元前310年以后)的著作中，仍有記載．巴比倫人也會求棱柱、圓柱、棱臺、圓臺的體積，他們用高乘以兩底面積和的一半的方法進(jìn)行計(jì)算．
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發(fā)布時間：2017-11-22 19:24:29阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是指7世紀(jì)伊斯蘭教興起后，崛起于阿拉伯半島，建立在橫跨亞、非、歐三洲的阿拉伯帝國統(tǒng)治下各民族所開創(chuàng)的數(shù)學(xué)．通常所謂伊斯蘭國家的數(shù)學(xué)或中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)也是指阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．在伊斯蘭國家里，科學(xué)文化的發(fā)展是許多民族的學(xué)者共同勞動的結(jié)果，數(shù)學(xué)也不例外．他們是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希臘人、敘利亞人、摩爾人、猶太人和阿拉伯人，等等．他們大都是伊斯蘭教徒．講到這一時期這一地區(qū)的數(shù)學(xué)，沒有很恰當(dāng)?shù)脑~語來表述，由于當(dāng)時的數(shù)學(xué)著作都是用阿拉伯文撰寫的，一般就統(tǒng)稱為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．上述各民族的學(xué)者有時也統(tǒng)稱為阿拉伯人．公元6世紀(jì)以前，阿拉伯人過著游牧部落生活．當(dāng)時阿拉伯半島盛行多神崇拜，各部落間戰(zhàn)爭連綿不斷．由于東西商路改道，社會經(jīng)濟(jì)日趨衰落，要求改變這種社會狀況和實(shí)現(xiàn)政治統(tǒng)一，成為各部落的共同愿望．伊斯蘭教的創(chuàng)始人默罕穆德(Mvhammad，約570 632)，出生于阿拉伯半島麥加城的一個沒落貴族家庭，早年曾隨商隊(duì)到過敘利亞等地，后來回到麥加城經(jīng)商．公元610年，在麥加開始創(chuàng)傳以信仰一神為中心的伊斯蘭教．后因遭到多神教徒的反對和迫害，于公元622年秘密出走麥地那．他在那里組織了一個接受伊斯蘭教的阿拉伯部落聯(lián)盟，號召所有伊斯蘭教徒 穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血緣的狹隘界限以共同的信仰為紐帶團(tuán)結(jié)起來．伊斯蘭教就這樣在阿拉伯半島創(chuàng)立并迅速傳播開去，成為團(tuán)結(jié)阿拉伯人的一種力量．阿拉伯部落統(tǒng)一后，形成了一個威勢很大的軍事力量．在 與異教斗爭 的神圣口號下，迅速向東方和西方的富饒國家入侵，并在被征服的國家里普及了伊斯蘭教．不到一個世紀(jì)，阿拉伯人就占領(lǐng)并統(tǒng)治了幾乎整個比利牛斯半島、所有地中海沿岸的非洲國家、近東地區(qū)、高加索和中亞細(xì)亞，形成了一個橫跨歐、亞、非三洲的強(qiáng)大的阿拉伯帝國．我國歷史上稱之為大食國．由于哈利發(fā)政權(quán)的對立斗爭，在8世紀(jì)中葉，大食國分裂為東大食和西大食．東大食的首都是巴格達(dá)，西大食的首都是科爾多瓦(Cordova)．公元1000年到1300年之間，基督教十字軍東侵，把穆斯林逐出圣地．13世紀(jì)初，成吉思汗率蒙古部隊(duì)西征．13世紀(jì)中葉，成吉思汗之孫旭烈兀再次率兵西征，占領(lǐng)了原來阿拉伯哈利發(fā)在亞洲的所有領(lǐng)土，創(chuàng)立了伊兒汗國．蒙古人征服了這些伊斯蘭國家后不久，他們自己也都皈依了伊斯蘭教．到了14、15世紀(jì)，在中亞又出現(xiàn)了另一個蒙古帝國 帖木耳國．12世紀(jì)末，西班牙人推翻最后一個摩爾人的統(tǒng)治，阿拉伯人失去了他們在歐洲的立足點(diǎn)．在阿拉伯帝國的統(tǒng)治下，被征服的民族很快轉(zhuǎn)向伊斯蘭教．同時，阿拉伯語很快成為各國通行的語言，在知識界成為學(xué)術(shù)交流的工具．這和中世紀(jì)西方各國把拉丁語作為通用語言一樣．阿拉伯人和其它民族的人民共同創(chuàng)造了新的、別具一格的文化．當(dāng)時歐洲正處在漫長的黑暗時期，阿拉伯世界的科學(xué)文化卻后來居上，成為當(dāng)時的人類科學(xué)文化中心之一．8世紀(jì)中葉至9世紀(jì)初，出現(xiàn)了幾位熱心提倡科學(xué)的哈利發(fā)：曼蘇爾(al－Mansur，712 775)，阿倫 賴世德(Hārūnar－Rashid， 765 809)，馬蒙(al－Mamun， 786 833)等．在他們的大力支持和鼓勵下，設(shè)立學(xué)校、圖書館和觀象臺．在東阿拉伯形成了以巴格達(dá)為首的學(xué)術(shù)中心．哈利發(fā)馬蒙在巴格達(dá)創(chuàng)辦了著名的 智慧館 (Bayt al－Hikmah)．這是自公元前 3世紀(jì)亞歷山大博物館之后最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān)，除用作翻譯館外，還起到科學(xué)院和公共圖書館的作用，它還附設(shè)一座天文臺．在這里，大量的波斯、希臘和印度的古典著作被系統(tǒng)地譯為阿拉伯文．哈利發(fā)還組織力量對這些著作進(jìn)行廣泛而深入的研究．就這樣，東西方的文華精華被融合在一起，出現(xiàn)了一個學(xué)術(shù)繁榮時期．阿拉伯的數(shù)學(xué)研究就從這里開始．從8世紀(jì)起，大約有一個到一個半世紀(jì)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的翻譯時期．由于阿拉伯人能夠控制或取得拜占庭帝國、埃及、敘利亞、波斯及印度諸國的人才和文化，所以他們得以接觸幾乎所有的古代重要著作．歐幾里得(Euclid，約公元前330 前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287 前212)、阿波羅尼奧斯(Apollonius，約公元前262 前190)、海倫(Heron ofAlexandria，約62年)、托勒密(Ptolemy，約100 約170)、丟番圖(Diophantus，250)、以及婆羅摩笈多(Brahmagupta，598 665)等著名學(xué)者的數(shù)學(xué)和天文學(xué)著作都被譯成阿拉伯文．在翻譯過程中，許多文獻(xiàn)被重新校訂、考證、勘誤、增補(bǔ)和注釋．這樣一來，大量的古代科學(xué)遺產(chǎn)獲得了新生．已經(jīng)荒廢了幾個世紀(jì)的古代學(xué)者的著作又重新成為人們手頭的教材．當(dāng)古希臘的原著失傳之后，這些阿拉伯文譯本就成為后來歐洲人了解古希臘數(shù)學(xué)的主要來源，而許多古希臘時期的著作也正是通過它們的阿拉伯文譯本才得以流傳下來．在上述漫長而有效的翻譯時期之后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)出現(xiàn)了一個創(chuàng)造性的活躍時期．阿拉伯人不僅繼承了古典科學(xué)遺產(chǎn)，而且使之適合自己的特殊需要和思想方法．他們吸取和保存了希臘和印度數(shù)學(xué)的精華，加上他們自己的創(chuàng)造性勞動，建立起獨(dú)具風(fēng)格的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．他們的貢獻(xiàn)為世界數(shù)學(xué)寶庫增添了光彩．阿拉伯人引進(jìn)了印度數(shù)字及其記數(shù)法，利用古代數(shù)學(xué)方法廣泛地解決了一系列計(jì)算，特別是天文計(jì)算問題．他們的近似計(jì)算達(dá)到了很高的精確度．在代數(shù)學(xué)方面，他們建立了一元二次方程的一般解法，三次方程的幾何解法，并把代數(shù)學(xué)明確地定義為 解方程的科學(xué) ．他們的工作為代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了方向．在三角學(xué)方面，他們引進(jìn)了幾種新的三角函數(shù)，建立了若干三角公式，制造了大量的三角函數(shù)表．更重要的是，三角學(xué)通過他們的工作開始脫離天文學(xué)而獨(dú)立．阿拉伯人為證明歐幾里得第五公設(shè)作過多次嘗試，推進(jìn)了平行線理論的研究．阿拉伯的數(shù)學(xué)著作具有自己的風(fēng)格．許多著作十分注意證明的論據(jù)，材料的系統(tǒng)安排和敘述的清晰性．大量書籍中都會見到具有東方民族特點(diǎn)的豐富有趣的例題和習(xí)題，這些問題往往具有十分新穎的實(shí)際內(nèi)容．
解放軍文職招聘考試抽象代數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 20:14:45抽象代數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大部門．它們構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與核心．沒有代數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)(除了那些較為孤立的、相對地講不太重要的學(xué)科)可以說寸步難行．抽象代數(shù)學(xué)或近世代數(shù)學(xué)是在20世紀(jì)初發(fā)展起來的．1930 1931年范 德 瓦爾登(B．L．vander Waerden，1903 )的《近世代數(shù)學(xué)》(Moderne Algebra)一書問世，在數(shù)學(xué)界引起轟動，由此之后，抽象代數(shù)學(xué)或近世代數(shù)學(xué)成為代數(shù)學(xué)的主流，不久之后也就理所當(dāng)然地把 抽象 及 近世 的帽子甩掉，堂爾皇之成為代數(shù)的正統(tǒng)．范 德 瓦爾登的書至今仍然是代數(shù)學(xué)的模式．它是根據(jù)德國女?dāng)?shù)學(xué)家E．諾特(E．Noether，1882 1935)和德國數(shù)學(xué)家阿廷(E．Artin，1898 1962)的講義編寫而成，在精神上基本來源于他們兩位，特別是諾特，被公認(rèn)為 近世代數(shù)學(xué)之母 ．在諾特之前，不少大數(shù)學(xué)家都對近世代數(shù)學(xué)有過這樣或那樣的貢獻(xiàn)，但是這種與經(jīng)典代數(shù)學(xué)迥然不同的思想主要來源于戴德金和希爾伯特，戴德金不僅引進(jìn)大多數(shù)抽象代數(shù)觀念 如理想、模、環(huán)、格等，而且初步研究它們的結(jié)構(gòu)及分類，而希爾伯特的抽象思維方式及公理方法則對現(xiàn)代整個數(shù)學(xué)都有舉足輕重的影響．抽象代數(shù)學(xué)的研究對象與研究目標(biāo)與經(jīng)典代數(shù)學(xué)有著根本的不同：經(jīng)典代數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)是求解代數(shù)方程和代數(shù)方程組，而抽象代數(shù)學(xué)的目標(biāo)則是研究具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合的性質(zhì)，刻劃它們并加以分類，這些對象是用公理定義的．1．域論從古代起，人們就已經(jīng)熟悉有理數(shù)和它們的運(yùn)算 加法和乘法．這些運(yùn)算滿足加法交換律和加法結(jié)合律，乘法交換律和乘法結(jié)合律，以及分配律，而且對于加法存在零元素(0)及逆元素(倒數(shù))．所有有理數(shù)的集合是人們最早認(rèn)識的具體的域，后來也知道實(shí)數(shù)集合、復(fù)數(shù)集合同樣滿足上述公理，它們也是城．除了這些最熟悉的域之以，在19世紀(jì)研究得最多的域是代數(shù)數(shù)域，這些都是含有無窮多元素的數(shù)域．有沒有有限多個元素的域呢？1830年伽羅瓦已知有有限多個元素的域(后來被稱為伽羅瓦域)，其元素被稱為伽羅瓦虛數(shù)，它們滿足pa＝0，其中p是一個素?cái)?shù)，p稱為域的特征．伽羅瓦曾具體證明，在一個特征為p的伽羅瓦域中，元素個數(shù)是p的一個冪．如在當(dāng)時的情況一樣，伽羅瓦所作的一切都是有具體表示的．到19世紀(jì)末，人們知道其他域的例子還有有理函數(shù)域及代數(shù)函數(shù)域．從整體結(jié)構(gòu)上對域進(jìn)行考察始自戴德金及克羅內(nèi)克對代數(shù)數(shù)域的研究(從1855年起)．但抽象域的觀念則來自德國數(shù)學(xué)家韋伯(H．Weber，1842 1913)，他的思想來自抽象群的觀念．后來美國數(shù)學(xué)家狄克遜(L．E．Dickson，1874 1954)及亨廷頓(E．V．Huntington，1874 1952)給出域的獨(dú)立的公理系統(tǒng)．在韋伯的影響下，德國數(shù)學(xué)家施泰尼茨(E．Steinitz，1871 1928)在1910年發(fā)表《域的代數(shù)理論》一文，為抽象域論奠定了基礎(chǔ)．他把域分為兩種類型：一種是特征為p的域，也即對所有元素a滿足pa＝0的域，它們一定包含最小的城(稱為素域)，最小的域一定是只含p個元素的伽羅瓦域．另一種是不存在這種p的域，稱為特征0，其素域一定是有理數(shù)域．不管域?qū)儆谀囊环N類型，任何域均可由素域添加一些新元素 擴(kuò)張 而成．所以域的根本問題是研究域的擴(kuò)張．他對擴(kuò)張進(jìn)行了分類，其中主要的一類是添加系數(shù)在原域中的多項(xiàng)式的根后所得的擴(kuò)張(代數(shù)擴(kuò)張)．當(dāng)一個域通過代數(shù)擴(kuò)張不能再擴(kuò)大時稱為代數(shù)封閉域．施泰尼茨證明，每個域均有唯一的代數(shù)封閉域．特別他還對特征p一般域脅許多特殊性質(zhì)如不可分性、不完全性進(jìn)行研究．關(guān)于抽象有限域，已經(jīng)有了相當(dāng)完整的結(jié)果：1893年美國數(shù)學(xué)家莫爾(E．H．Moore，1862 1932)證明，任何一有限域必定與某一個伽羅瓦域同構(gòu)．反過來，對于任意素?cái)?shù)p和正整數(shù)a，必定存在唯一一個伽羅瓦域，具有pa個元素．有限域理論在數(shù)論、編碼理論、組合理論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方面有著許多應(yīng)用．在域論中引進(jìn)p進(jìn)域是一個重大成就．德國數(shù)學(xué)家亨澤爾(K．Hensel，1861 1941)在1908年出版的《代數(shù)數(shù)論》(Theorie der algebraischen Zahlen)中系統(tǒng)闡述了p進(jìn)數(shù)，他對這種數(shù)規(guī)定了加、減、乘、除四種基本運(yùn)算，構(gòu)成一個域稱p進(jìn)域，而它是有理數(shù)域的一個完備化，如同實(shí)數(shù)域一樣．但是與實(shí)數(shù)域性質(zhì)的一個很大的不同是實(shí)數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)，也就是對任何兩個實(shí)數(shù)a，b總存在一個正整數(shù)n，使na＞b．p進(jìn)域雖然也有一個自然的順序，但卻沒有阿基米德性質(zhì)．pˉ進(jìn)數(shù)域是一種 局部 域，在它里面也可定義整數(shù)及代數(shù)數(shù)，它的建立大大有助于數(shù)論的發(fā)展．亨澤爾之后，抽象賦值論得到發(fā)展，在代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何學(xué)上有著重要應(yīng)用．抽象理論的建立不僅使已有的零散知識系統(tǒng)化，而且有助于許多問題的解決，1927年阿廷解決希爾伯特第17問題就是靠他引進(jìn)抽象的實(shí)域(他稱為形式實(shí)域)．實(shí)域k是把實(shí)數(shù)域的一個特性抽象化：即-1不能表示為k中元素的平方和．通過這個概念，他證明 任何正定有理函數(shù)都可表示為有理函數(shù)平方和 ．2．環(huán)論環(huán)的概念原始雛型是整數(shù)集合．它與域不同之處在于對于乘法不一定有逆元素．抽象環(huán)論的概念來源一方面是數(shù)論，整數(shù)的推廣 代數(shù)整數(shù)具有整數(shù)的許多性質(zhì)，也有許多不足之處，比如唯一素因子分解定理不一定成立，這導(dǎo)致理想數(shù)概念的產(chǎn)生．戴德金在1871年將理想數(shù)抽象化成 理想 概念，它是代數(shù)整數(shù)環(huán)中的一些特殊的子環(huán)．這開始了理想理論的研究，在諾特把環(huán)公理化之后，理想理論被納入環(huán)論中去．環(huán)的概念的另一來源是19世紀(jì)對數(shù)系的各種推廣．這最初可追溯到1843年哈密頓關(guān)于四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)．他的目的是為了擴(kuò)張用處很大的復(fù)數(shù)．它是第一個 超復(fù)數(shù)系 也是第一個乘法不交換的線性結(jié)合代數(shù)．它可以看成是實(shí)數(shù)域上的四元代數(shù)．不久之后凱萊得到八元數(shù)，它的乘法不僅不交換，而且連結(jié)合律也不滿足，它可以看成是第一個線性非結(jié)合代數(shù)．其后各種 超復(fù)數(shù) 相繼出現(xiàn)．1861年，魏爾斯特拉斯證明，有限維的實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的可除代數(shù)，如滿足乘法交換律，則只有實(shí)數(shù)及復(fù)數(shù)的代數(shù)(1884年發(fā)表)．1870年戴德金也得出同樣結(jié)果(1888年發(fā)表)．1878年弗洛賓尼烏斯(F．G．Frobenius，1849 1917)證明實(shí)數(shù)域上有限維可除代數(shù)只有實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)及實(shí)四元數(shù)的代數(shù)．1881年小皮爾斯也獨(dú)立得到證明．1958年用代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)方法證明，實(shí)數(shù)域上有限維可除代數(shù)，連非結(jié)合可除代數(shù)也算在內(nèi)，只有1，2，4，8這四種已知維數(shù)．可見實(shí)數(shù)域及復(fù)數(shù)域具有獨(dú)特的性質(zhì)．關(guān)于域上線性結(jié)合代數(shù)的研究在19世紀(jì)末處于枚舉階段，1870年老皮爾斯(B．Peirce，1809 1880)發(fā)表《線性結(jié)合代數(shù)》，列舉6維以下的線性結(jié)合代數(shù)162個．他還引進(jìn)冪零元與冪等元等重要概念為后來的結(jié)構(gòu)理論奠定基礎(chǔ)．1898年、嘉當(dāng)(E．Cartan)在研究李代數(shù)的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，對于結(jié)合代數(shù)進(jìn)行類似的研究，1900年，德國數(shù)學(xué)家摩林(T．Molien，1861 1941)征明，復(fù)數(shù)域上維數(shù) 2的單結(jié)合代數(shù)都與復(fù)數(shù)域上適當(dāng)階數(shù)的矩陣代數(shù)同構(gòu)．線性結(jié)合代數(shù)的結(jié)構(gòu)定理是1907年由美國數(shù)學(xué)家魏德本(J．HM．Wedderburn，1882 1948)得出的：線性結(jié)合代數(shù)可以分解為冪零代數(shù)及半單代數(shù)，而半單代數(shù)又可以表示為單代數(shù)的直和．單代數(shù)可表為域上可除代數(shù)的矩陣代數(shù)．這樣結(jié)合代數(shù)就歸結(jié)為可除代數(shù)的研究．可除代數(shù)有著以下的結(jié)果．1905年魏德本證明：有限除環(huán)都是(交換)域，也即伽羅瓦域．當(dāng)時除了伽羅瓦域及四元數(shù)之外，不知道有別的除環(huán)．20世紀(jì)雖然發(fā)現(xiàn)了一些新的除環(huán)，但除環(huán)的整個理論至今仍不完善．從線性結(jié)合代數(shù)到結(jié)合環(huán)的過渡是阿廷完成的．1928年，阿廷首先引進(jìn)極小條件環(huán)(即左、右理想滿足降鍵條件的環(huán)，后稱阿廷環(huán))，證明相應(yīng)的結(jié)構(gòu)定理．對于半單環(huán)的分類，雅可布孫(N.Jacobson，1910 )創(chuàng)立了他的結(jié)構(gòu)理論．他認(rèn)為對任意環(huán)均可引進(jìn)根基的概念，而對阿廷環(huán)來說，根基就是一組真冪零元．對于非半單的阿廷環(huán)(主要出現(xiàn)于有限群的模表示中)，如福洛賓尼烏斯代數(shù)及其推廣也有許多獨(dú)立的研究．而與阿廷環(huán)對應(yīng)的是諾特環(huán)，對于有么無的環(huán)，秋月康夫(1902 1984)及霍普金斯(C．H opkins)證明阿廷環(huán)都是諾特環(huán)．對于諾特環(huán)，卻長期沒有相應(yīng)的結(jié)構(gòu)理論．一直到1958年英國數(shù)學(xué)家戈?duì)柕?A．W．Gold－ie)才取得突破，他證明任何諾特半素環(huán)都有一個阿廷半單的分式環(huán)，這才促進(jìn)了新研究．與諾特環(huán)平行發(fā)展的是滿足多項(xiàng)式等式的環(huán)．近來環(huán)表示論及同調(diào)方法的應(yīng)用對結(jié)合環(huán)理論有極大促進(jìn)．環(huán)論的另一來源是代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何學(xué)及它們導(dǎo)致的交換環(huán)理論．1871年戴德金引進(jìn)理想概念，開創(chuàng)了理想理論．環(huán)這個詞首先見于希爾伯特的數(shù)論報(bào)告．代數(shù)幾何學(xué)的研究促使希爾伯特證明多項(xiàng)式環(huán)的基定理．在本世紀(jì)初英國數(shù)學(xué)家臘斯克(E．Lasker，1868 1941)及麥考萊(F．S．Macaulay，1862 1937)對于多項(xiàng)式環(huán)得出分解定理．對于交換環(huán)的一般研究來源于E．諾特．她對一般諾特環(huán)進(jìn)行公理化，證明準(zhǔn)素分解定理從而奠定交換環(huán)論乃至抽象代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其后克魯爾(W．Krull，1899 1971)給出系統(tǒng)的研究，他還引進(jìn)了最值得注意的局部環(huán)．四十年代，薛華荔、柯恩(I．S．Cohen，1917 1955)及查瑞斯基(O．Zariski，1899 1986)對局部環(huán)論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究．3．群論19世紀(jì)末抽象群開始成為獨(dú)立研究的對象，當(dāng)時主要問題仍是以置換群為模式的有限群，問題涉及列舉給定階數(shù)的所有群以及群的可解性的判據(jù)．當(dāng)時主要的定理是由挪威數(shù)學(xué)家西洛(L．Sylow，1832 1918)在 的．而19世紀(jì)90年代群論最主要成就是群表示論的出現(xiàn)，它是由德國數(shù)學(xué)家福洛賓尼烏斯奠定的．后由他的學(xué)生舒爾(I．Schur，1875 1941)所發(fā)展，成為研究群論不可缺少的工具．所謂群表示即是把群具體實(shí)現(xiàn)為某種結(jié)構(gòu)的自同構(gòu)群，例如域F上的有限維線性空間的線性變換群，通常是把群的元素與F上的n n可逆矩陣相對應(yīng)．在英國數(shù)學(xué)家伯恩塞德(W．Burnside，1852 1927)的經(jīng)典著作《有限階群論》(Theory of Groups of Finite Order)第二版(1911)已經(jīng)進(jìn)行綜述并給出應(yīng)用．對于無窮階的離散群，也有一些重要的研究，其中重要的是與數(shù)理邏輯有關(guān)的 字的問題 ，即兩個符號序列何時相等，對于有限生成的具有有限個關(guān)系式的群，1955年左右蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家諾維科夫( C Hовиков，1901 1975)、美國數(shù)學(xué)家布里頓(J．L．Britton)和布恩(W．Boone，1920 1983)證明一般的字的問題是不可解的，也就是不存在一個普遍的算法來判定兩個字是否相等，但是另一方面德國數(shù)學(xué)家馬格努斯(W．Magnus，1907 )在1932年解決一個關(guān)系式的有限生成群的字的問題．另一個重要的問題是伯恩賽德問題，他問一個有限生成的群如果其所有元素都是有限階的，該群是否有限，這個問題一直到1964年由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家考斯特利金(А．И．Кострикин，1929 )舉出例子而得出否定的回答．另外還有一個狹義的伯恩賽德猜想，即有限生成群當(dāng)所有元素x滿足xn＝0是有限群，現(xiàn)在知道當(dāng)n＝2，3，4，6時，狹義伯恩賽德猜想成立，但如果n相當(dāng)大，諾維科夫和布里頓等人也舉出反例．
