解放軍文職招聘考試希臘后期的數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:18:52希臘后期的數(shù)學(xué)希臘后期的數(shù)學(xué)一般指公元前146年羅馬滅亡希臘以后的數(shù)學(xué)．由此，希臘本土的文化逐漸退居次要地位，科學(xué)中心開(kāi)始轉(zhuǎn)移到埃及的亞歷山大里亞城，成為新的希臘文化淵藪．由于亞歷山大里亞的學(xué)者繼續(xù)不斷地發(fā)明、創(chuàng)造，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展．以下幾位數(shù)學(xué)家的工作是值得提及的．在希臘后期，雖然對(duì)歐幾里得《幾何原本》沒(méi)有作出根本性改革，但也作了很多添補(bǔ)工作．對(duì)此，首先作出貢獻(xiàn)的是海倫．海倫(Heron，約公元60年) 著《關(guān)于測(cè)量?jī)x》(Diopt－ra)一書，其中提出了確定羅馬和亞歷山大之間的時(shí)差問(wèn)題的一個(gè)較復(fù)雜的方法，并用這種儀器觀測(cè)兩地的月食．海倫的著作主要是由幾何學(xué)、應(yīng)用幾何學(xué)、應(yīng)用機(jī)械學(xué)合編成的一部百科全書性質(zhì)的書籍---《幾何》．在這部著作中，闡述了象測(cè)量?jī)x一類器具的使用方法．他還注釋了歐幾里得的著作以及撰寫有關(guān)面積和體積的書籍，但其名著是《測(cè)量術(shù)》．這部著作分三篇，第一篇是面積的計(jì)算；第二篇是體積的計(jì)算；第三篇是解決面積和體積的有關(guān)比例問(wèn)題．第一篇是最重要的篇章，其中給出已知三角形邊長(zhǎng)，求三角形面積的公式，即 海倫公式 ．海倫是通過(guò)具體的三角形推出此公式的，首先假定三角形的邊長(zhǎng)分別是13，14，15．海倫給出二種方法計(jì)算，其一是利用三角形的高來(lái)求面積，其二是不求出高，利用三邊求面積，他按如下步驟計(jì)算．(1)將三邊長(zhǎng)相加 13＋14＋15＝42．(2)取和的一半 42 2=21．(4)求積、開(kāi)方 21 8 7 6＝7056，此三角形的面積是84．如上步驟，可寫成如下公式：(△表示三角形面積，a、b、c為三邊長(zhǎng)，這就是著名的海倫公式．德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(M．B．Cantor， 1829---1920)曾指出，上述公式在海倫的原典中有明確記載．但是，根據(jù)阿拉伯文獻(xiàn)記載，阿基米德已經(jīng)知道這個(gè)公式，是海倫利用三角形的內(nèi)切圓征明了此公式．三角學(xué)在這個(gè)時(shí)期有了進(jìn)一步發(fā)展．雖然人們對(duì)這門學(xué)科本身的興趣在衰退，但逐漸成了其他學(xué)科，尤其是天文學(xué)的輔助學(xué)科．三角學(xué)這門科學(xué)是從確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系開(kāi)始的．很可能埃及人早已發(fā)現(xiàn)三角形的不同元素之間具有某種關(guān)聯(lián)，但首先看到有必要建立三角形的邊與角之間的精確關(guān)系的，仍是希臘人．三角學(xué)在西方的最早的奠基人是希臘的希帕霍斯(Hippa－rchus，？---公元前127以后)．他是古希臘的天文學(xué)家．為了天文觀測(cè)的需要，作了一個(gè)和現(xiàn)今三角函數(shù)表相仿的 弦表 ，相當(dāng)于現(xiàn)在圓心角一半的正弦線的兩倍，可惜這份表沒(méi)有保存下來(lái)．繼承和發(fā)展了希帕霍斯研究成果的，是古代天文學(xué)的集大成者托勒密(ptolemy，約100---約170)．他撰寫一部天文學(xué)著作，原名為《數(shù)學(xué)匯編》，后來(lái)譯成阿拉伯文，再轉(zhuǎn)譯成拉丁文，變成Almagest的書名，意為《天文集》，這是一部主張 日心說(shuō) 的著作．托勒密在天文學(xué)上的研究，試圖建立能精確確定某些關(guān)系的規(guī)則，正是為了改善天文計(jì)算為目的，三角學(xué)才應(yīng)運(yùn)而生．因此，球面三角學(xué)的研究先于平面三角學(xué)．長(zhǎng)度．由于弧的大小是它所對(duì)之角的量度，所以，顯然在圖3．21中弦2 (即在弧上對(duì)著角2 所張弦的長(zhǎng)度)和我們所說(shuō)的sin 之間存在等價(jià)可以推測(cè)，托勒密的方法相當(dāng)復(fù)雜，不妨簡(jiǎn)述如下．托勒密首先認(rèn)識(shí)到，確定不同角度的弦相當(dāng)于如何設(shè)法解決用圓的直徑長(zhǎng)度表示圓內(nèi)接正多邊形的邊長(zhǎng)問(wèn)題．值此，他把圓周分成360等份，即360度．直徑則被分成120等份，使用60進(jìn)位分法，實(shí)際上也推廣到分?jǐn)?shù)，并使用了等分、分、秒(partes minutoe，primoe，secundoe)等名稱．這樣就能用直徑上許多等份來(lái)表示圓弧上對(duì)任一圓心角所張弦的長(zhǎng)度．這乃是角的弦．托勒密為擴(kuò)充他的表，利用了人們熟知的關(guān)系式．從圖3．22可以看出：(chord2 )2＋ chord(180 -2 )2＝AC2＋AB2＝BC2，即1202．sin2 ＋cos2 ＝1．托勒密進(jìn)一步建立chord( － )的表示式，即 sin( － )公式，托勒密的具體作法可表述為：在直徑AD上作一半圓，B和C是半圓上的兩點(diǎn)，如圖3．23．顯然有AC=chord l，AB＝chord 2，BC＝chord( 1－ 2)，BD=chord(180 － 2)，CD=chord(180 － 1)．從定理表達(dá)式AC BD=BC AD+ AB CD或 BC AD＝AC BD- AB CD亦即[chord( - )] [chord180 ]＝(chord 1) [chord(180 - 2)]－[chord(180 － 1)]，可得出sin(A-B)的形式．為了確立半角公式，托勒密以AB為直徑作一圓，畫出兩相等的弦AD CB＋CD AB＝AC BD，即 AD2＋CD AB＝BD2=AB2-AD2．因此 2AD2＝AB2-AB CD，利用以上公式，托勒密求出有關(guān)角的正弦值，進(jìn)行造表．在第二篇中，托勒密研究了與地球球面有關(guān)的知識(shí)．在第三、四、五篇中，利用本輪解釋天文學(xué)的地心學(xué)說(shuō)．在第四篇中，提出了測(cè)量學(xué)的三點(diǎn)問(wèn)題的解：確定這樣的點(diǎn)，使這一點(diǎn)與給定的三個(gè)點(diǎn)中每?jī)牲c(diǎn)的連線所成之角分別為給定的角．在第六篇中，提出了日、月蝕的理論．在第七、八篇中，含有1028個(gè)恒星目錄．其余幾篇是研究行星的．《天文集》一書，在哥白尼(N．Copernicus，1473---1543)之名著《關(guān)于天體的運(yùn)轉(zhuǎn)》(Derevolutionibusorbium Caelestium)成書前，一直是標(biāo)準(zhǔn)的天文學(xué)著作．托勒密曾懷疑過(guò)歐幾里得平行公設(shè)，試圖利用《幾何原本》中的其它公理和公設(shè)推出第五公設(shè)，使之去掉歐幾里得的一系列原始假定，但未能成功．幾乎在同一時(shí)期，希臘學(xué)者門納勞斯(Menelaus of Ale－xandria，進(jìn)一步研究了球面三角，并著《球面論》(Sphaeri－ca)，著重討論球面三角形的幾何性質(zhì)．在托勒密逝世之后，希臘的黃金時(shí)代已經(jīng)過(guò)去，希臘數(shù)學(xué)開(kāi)始走下坡路．正是在此時(shí)，有一些才華出眾的學(xué)者，又為希臘數(shù)學(xué)增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亞歷山大里亞的帕普斯(Pappus， 300？-350？)和丟番圖(Diophantus)，他們的工作推動(dòng)了希臘后期的數(shù)學(xué)．帕普斯的主要數(shù)學(xué)著作是《數(shù)學(xué)匯編》(MathaematicalCollections)，此書共8篇，只第一、二篇的一部分保存下來(lái)了，其余部分都已失傳．《數(shù)學(xué)匯編》一書統(tǒng)一了希臘早期幾何學(xué)知識(shí)，開(kāi)始進(jìn)一步探求解決古代三個(gè)著名幾何難題的方法，并做重要補(bǔ)充，其中包括對(duì)立體幾何、高次平面曲線和等周問(wèn)題的詳盡處理．按照解題所需的曲線性質(zhì)，帕普斯進(jìn)行了分類．他說(shuō)： 我們已考慮過(guò)三種幾何學(xué)問(wèn)題．即：平面問(wèn)題，立體問(wèn)題，線性問(wèn)題．那些可以用直線和圓周來(lái)解決的問(wèn)題，都稱為平面問(wèn)題，因?yàn)橛脕?lái)解決這類問(wèn)題的線的起源是在平面內(nèi)．那些要靠一條或一條以上的圓錐曲線來(lái)解決的問(wèn)題稱為立體問(wèn)題，因?yàn)樵谶@些問(wèn)題的作圖中要用到立體圖形的面，例如圓錐曲線．還有第三類問(wèn)題：它們叫做線性問(wèn)題，因?yàn)樵谶@些問(wèn)題的作圖中必須用到不同于剛才所述的線，它們有著不同的并且更復(fù)雜的起源，或者它們是由于運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的．屬于這類線的是螺旋線或螺線、割圓曲線、蚌線、蔓葉線等等．《數(shù)學(xué)匯編》中含有兩個(gè)重要等周問(wèn)題．即：(1)在所有周長(zhǎng)相同的圓弓形中，以半圓為最大．(2)在所有表面積相等的立體中，以面數(shù)最多的立體為最大．這部著作中，記載著著名的 帕普斯問(wèn)題 ，即： 若從任一點(diǎn)作直線與五條具有給定位置的直線在各個(gè)給定角度上相交，并且其中三條直線所圍之長(zhǎng)方體的體積與其余兩條直線和一給定直線所圍之長(zhǎng)方體的體積的比是給定的，那么這一點(diǎn)仍將落在給定位置的曲線上． 笛卡兒曾試圖用分析方法解決這一問(wèn)題，導(dǎo)致其發(fā)現(xiàn)了解析幾何學(xué)的原理．《數(shù)學(xué)匯編》中的第七篇，含有一著名的定理，現(xiàn)稱古爾丁定理．因?yàn)?，古爾?P．Guldin，1577---1643)重新獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了這一定理，并給出證明．這個(gè)定理是，如果一平面閉曲線圖形繞曲線之外但在同一平面內(nèi)的一軸轉(zhuǎn)動(dòng)一周，則旋轉(zhuǎn)出來(lái)的形體的體積等于曲面面積乘以其重心所轉(zhuǎn)過(guò)的圓周．這是有普遍意義的結(jié)果，帕普斯沒(méi)有給出定理的證明．第八篇主要研討力學(xué)，他把物體的重心定義為物體內(nèi)(并不一定屬于物體)的一點(diǎn)，若在那一點(diǎn)把它吊起來(lái)，就能使它靜止，而不管吊放的位置如何．然后他說(shuō)明了用何種數(shù)學(xué)方法來(lái)確定這個(gè)點(diǎn)．帕普斯還討論了物體沿斜面移動(dòng)的問(wèn)題．《數(shù)學(xué)匯編》的水平和價(jià)值雖然不能與希臘黃金時(shí)代的名著相比，但是，它是在希臘數(shù)學(xué)衰落時(shí)的著作，從而展現(xiàn)出它的特殊意義．丟番圖的一生，童年生活占1/6，青少年的時(shí)代占1/12，然后獨(dú)身生活占1/7．結(jié)婚后過(guò)了5年生了一個(gè)兒子，兒子比父親早4年而亡，只活了父親年齡的一半 ．可由一元一次方程，算出丟番圖的一生年齡．即：可得：x=84．丟番圖撰寫過(guò)三部書，其中最著名的是《算術(shù)》(Arithmetica)，另外兩部，有一部失傳，還有一部是《多角數(shù)》(Depolygonis numeris)．根據(jù)《算術(shù)》序文記載，這部著作共有13卷，現(xiàn)存只有卷．此書共解決了189個(gè)問(wèn)題．主要闡述數(shù)的理論，但大部分是解決代數(shù)問(wèn)題，這種脫離幾何范疇，研究實(shí)際問(wèn)題的方法，為希臘數(shù)學(xué)增添了異彩．丟番圖的《算術(shù)》曾被人譽(yù)為 過(guò)渡代數(shù) ，尤其是把數(shù)學(xué)從純粹語(yǔ)言敘述，轉(zhuǎn)為借助于簡(jiǎn)單的詞和某些符號(hào)來(lái)表達(dá)．例如：△Y= △υ s 表示平方，s2KY＝Kυ os 表示立方，s3KYK＝Kυ кυ os 表示立方的立方，s6丟番圖還給出了負(fù)數(shù)冪s－1，s－2， 的表示法，對(duì)于各數(shù)的和，把各符號(hào)簡(jiǎn)單地排列在一起．如上，他不寫12，而是寫12個(gè)單位．花拉子米也有類似的寫法，丟番圖曾給出減法用的符號(hào)，用來(lái)表示．關(guān)于乘法、相等、大于、小于符號(hào)的建立，主要是阿拉伯人的工作．因此，丟番圖的《算術(shù)》基本上還是屬于文字?jǐn)⑹鲭A段．丟番圖的代數(shù)還是原始的，但有了一定的簡(jiǎn)化符號(hào)．丟番圖曾給出求解一次方程的方法，即： 若方程兩邊的未知數(shù)的冪相同，但是系數(shù)不同，應(yīng)該由等量減去等量，直到得出含未知數(shù)的一項(xiàng)等于某個(gè)數(shù)為止．若在方程的一邊或兩邊有減項(xiàng)，那么應(yīng)當(dāng)向兩邊加上這個(gè)項(xiàng)，使兩邊只有加項(xiàng)．然后需要再一次等量減等量，直到得出未知數(shù)等于某個(gè)數(shù)為止． 總之，丟番圖施用了 合并同類項(xiàng) ， 移項(xiàng) ， 兩邊除以未知數(shù)的系數(shù) ．但他盡量避免除法運(yùn)算，而用重復(fù)的減法代替．至于二次方程，他總是算出一個(gè)正根，其解法沒(méi)有保存下來(lái)，不可詳考．丟番圖在解ax2＋c＝y(tǒng)2，bx＋c＝y(tǒng)2等類型的不定方程時(shí)顯示出了他的卓越才能．每題都用其特殊方法解決，沒(méi)有給出一般解法，即使類型相同的題目，解法也不同．正如德國(guó)數(shù)學(xué)史家韓克爾(Hermann Hankel， 1839---1873)說(shuō)： 近代數(shù)學(xué)家研究了丟番圖100個(gè)題后，去解101個(gè)題，仍然感到困難．丟番圖也曾以具體的實(shí)例研究不定方程，在《算術(shù)》第二卷問(wèn)題9， 把已知平方數(shù)分成兩個(gè)平方數(shù)的和 ，并把16分成兩個(gè)有理數(shù)的平方足方程：x2＋y2＝z2的有理數(shù)x，y，z．大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬就是看了丟番圖的不定方程，而提出所謂 費(fèi)馬大定理 的．丟番圖也曾解過(guò)二個(gè)或二個(gè)以上未知數(shù)的聯(lián)立一次方程組．總之，丟番圖是把新思想引入數(shù)學(xué)的亞歷山大數(shù)學(xué)家的最后代表．他在代數(shù)方面做出了重要貢獻(xiàn)，被譽(yù)為代數(shù)學(xué)的鼻祖，人們用 解方程的形式，刻畫他的年齡 ，這亦是一種后世的深刻懷念吧！前面已經(jīng)提到希臘數(shù)學(xué)衰退，在公元最初幾個(gè)世紀(jì)里一直持續(xù)著．當(dāng)丟番圖去世后，到了公元5世紀(jì)時(shí)，希臘數(shù)學(xué)到達(dá)了衰落的頂點(diǎn)．當(dāng)時(shí)羅馬已經(jīng)成為世界之王，她的領(lǐng)土從印度河一直伸展到直布羅陀海峽，從尼羅河直到不列顛海岸．由于羅馬人不關(guān)心智慧的追求，只需要食物和娛樂(lè)(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不關(guān)心，因此，羅馬人在頭幾個(gè)世紀(jì)里，他們對(duì)數(shù)學(xué)或科學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)很?。魅隽_在他的塔斯克來(lái)尼恩講話(Tusculanian Oratio ns)中曾為這個(gè)事實(shí)而痛惜．他感嘆道： 希臘人給予幾何學(xué)家以最高的榮譽(yù)；因此他們中間沒(méi)有什么東西比數(shù)學(xué)發(fā)展得更光輝燦爛了．但是我們卻把這門藝術(shù)局限于測(cè)量和計(jì)算的應(yīng)用方面．在早期的基督教學(xué)者中，也只有少數(shù)幾個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)或科學(xué)有點(diǎn)興趣．強(qiáng)烈的宗教熱忱，是不鼓勵(lì)他們對(duì)世俗學(xué)問(wèn)追求和探索的．但是，強(qiáng)盛的羅馬帝國(guó)很快地瓦解，隨著凱撒城在公元455年的陷落，羅馬的統(tǒng)治權(quán)實(shí)際上已告結(jié)束．在此40年前，即公元415年，亞歷山大里亞的著名學(xué)者賽翁之女希帕蒂亞(Hypatia，約370---415)慘遭一群基督教暴徒殺害．她是古希臘最后一位數(shù)學(xué)家，曾協(xié)助父親完成對(duì)歐幾里得《幾何原本》的評(píng)注，還評(píng)注過(guò)丟番圖的《算術(shù)》和阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》．她的死標(biāo)志著通常被稱為黑暗時(shí)期的那段荒蕪時(shí)期的開(kāi)始．希臘古代文明歷史結(jié)束了，在隨后的3個(gè)世紀(jì)左右，歐洲一直處于科學(xué)文化的衰退之中，即黑暗時(shí)期．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:30:08代數(shù)學(xué)1494年，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(L．Pacioli，1445 1509)的《算術(shù)、幾何、比與比例全書》(Summa de Arithmetica，Geometria，Proportioni et Proportionalita)在威尼斯出版，它是繼斐波那契L．Fibonacci)《算盤書》之后第一部?jī)?nèi)容全面的數(shù)學(xué)書，包括算術(shù)、代數(shù)、幾何與簿記．書中采用了印度 阿拉伯?dāng)?shù)碼和許多數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)16世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展有重要影響．尤其值得提到的是，書中討論了三次方程．雖然沒(méi)有成功，而得出 高于二次的方程不可解 的錯(cuò)誤結(jié)論，但正是書中的討論引導(dǎo)了數(shù)學(xué)家們的進(jìn)一步研究．16世紀(jì)的一些杰出數(shù)學(xué)家并不相信帕喬利的結(jié)論，他們孜孜不倦地探求高于二次的方程解法．實(shí)際上，16世紀(jì)歐洲代數(shù)的發(fā)展，便突出地表現(xiàn)為三次和四次方程解法的發(fā)現(xiàn)．在此期間，意大利的另一位數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾(G．Cardano，1501 1576)也在研究三次方程解法，但未成功．1539年，他懇切要求塔爾塔利亞把解法告訴他，并發(fā)誓保密，塔爾塔利亞滿足了他的要求，不過(guò)沒(méi)有證明．卡爾達(dá)諾克服了很大困難，找到了證明．他大概覺(jué)得沒(méi)有保密的必要，便在1545年發(fā)表的《大術(shù)》(Ars(G．Cardano1501 1576)Magna)中公布了三次方程解法．盡管卡爾達(dá)諾寫明了方法的來(lái)源，但失信行為還是激怒了塔爾塔利亞，受到他的強(qiáng)烈譴責(zé)．由于《大術(shù)》的影響，三次方程解法被稱為 卡爾達(dá)諾公式 或 卡當(dāng)公式 流傳開(kāi)來(lái)．卡爾達(dá)諾公布的解法可簡(jiǎn)述如下：方程x3＋px=q(p，q為正數(shù))． (1)卡爾達(dá)諾以方程x3＋6x＝20為例說(shuō)明這一方法，他得到的解是x=過(guò)同樣的程序得到他還求出x3＋px＋q＝0和x3＋q＝px(p，q為正數(shù))的公式解，就是說(shuō)他已經(jīng)能解任何形式的三次方程了．毫無(wú)疑問(wèn)，這里包含了塔爾塔利亞的工作．但需要說(shuō)明的是，他們像當(dāng)時(shí)其他數(shù)學(xué)家一樣，解方程只求正根，所以解法還是不完善的．管會(huì)受到多大的良心的責(zé)備 ，把這兩個(gè)根相乘，會(huì)得25－(-15)＝40．于是他寫道： 算術(shù)就是這樣神秘地搞下去的，它的目標(biāo)，正如常言所說(shuō)，是又精致又不中用的． 他既承認(rèn)負(fù)數(shù)有平方根，又懷疑它的合法性，因此稱它為 詭變量 ．但不管怎樣，虛數(shù)畢竟在卡爾達(dá)諾那里誕生了．他還進(jìn)一步指出，方程(指實(shí)系數(shù)方程)的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的．三次方程成功地解出之后，卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里(L．Ferrari，1522 1565)受到啟發(fā)，很快解出了四次方程，解法也發(fā)表在卡爾達(dá)諾《大術(shù)》中．下面用現(xiàn)代符號(hào)表出．設(shè)方程為x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4)移項(xiàng)，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，右邊為x的二次三項(xiàng)式，若判別式為0，則可配成x的完全平方．解這個(gè)三次方程，設(shè)它的一個(gè)根為y0，代入(5)，由于兩邊都是x的完全平方形式，取平方根，即得解這兩個(gè)關(guān)于x的二次方程，便可得到(4)的四個(gè)根．顯然，若把(6)的其他根代入(5)，會(huì)得出不同的方程，但結(jié)果是一樣的．在卡爾達(dá)諾之后，韋達(dá)對(duì)三次方程和四次方程解法作了進(jìn)一步改進(jìn)．1591年發(fā)表的《分析術(shù)引論》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是這樣解三次方程的：對(duì)于 x3+bx2+cx+d=0，結(jié)果得到簡(jiǎn)約三次方程y3＋py＋q＝0．他和卡爾達(dá)諾一樣，只考慮方程的正根．韋達(dá)不僅研究方程解法，還努力尋找方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在《論方程的識(shí)別與修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，寫于1591年，出版于1615年)中，他提出了四個(gè)定理，后人為了紀(jì)念這位大數(shù)學(xué)家，稱之為韋達(dá)定理．二次方程的韋達(dá)定理是我們經(jīng)常使用的，就對(duì)方程理論作出重要貢獻(xiàn)的另一位數(shù)學(xué)家是笛卡兒．他承認(rèn)方程的負(fù)根，并研究了多項(xiàng)式方程的正根和負(fù)根個(gè)數(shù)的規(guī)律，得到著名的笛卡兒符號(hào)法則：多項(xiàng)式方程f(x)=0的正根個(gè)數(shù)等于方程系數(shù)的變號(hào)次數(shù)，或比此數(shù)少一正偶數(shù)；負(fù)根個(gè)數(shù)等于f(-x)的系數(shù)的變號(hào)次數(shù)，或少于此數(shù)一個(gè)正偶數(shù)．在這里，m重根是看作m個(gè)根的．實(shí)際上，正根個(gè)數(shù)和負(fù)根個(gè)數(shù)都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系數(shù)變號(hào)次數(shù)，p為0，1，2 ，p的取值要使n－2p非負(fù)．笛卡兒還研究了方程的根的個(gè)數(shù)同方程次數(shù)的關(guān)系，認(rèn)為n次方程至多有n個(gè)根．在討論三次方程時(shí)，他得到如下結(jié)論：若一有理系數(shù)三次方程有一個(gè)有理根，則此方程可表為有理系數(shù)因子的乘積．他的另一項(xiàng)重要成果是現(xiàn)今所謂因子定理：f(x)能為(x-a)整除(a＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a是f(x)＝0的一個(gè)根，所有這些成就都是在笛卡兒《方法論》(DiscoursdelaM thod，1637)的附錄《幾何》(LaG ometrie)中出現(xiàn)的．除了方程以外，二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)也在代數(shù)史上占有一席之地．實(shí)際上，指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)式定理(即(a＋b)n在n為正整數(shù)時(shí)的展開(kāi)式)曾被不同民族多次獨(dú)立發(fā)現(xiàn)．11世紀(jì)的中國(guó)人賈憲和15世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形這個(gè)三角形特點(diǎn)是，左右兩行的數(shù)都是1，中間每個(gè)數(shù)為肩上兩數(shù)之和．在歐洲，德國(guó)數(shù)學(xué)家阿皮安努斯(P．Apianus，1495 1552)最早給出這個(gè)三角形(1527年)，1544年左右，施蒂費(fèi)爾引入 二項(xiàng)式系數(shù) 這個(gè)名稱，并指出怎樣從(1＋a)n-1來(lái)計(jì)算(1＋a)n．1653年，帕斯卡寫成《算術(shù)三角形》(Trait dutrianglearithm tique)一書，從上述三角形出發(fā)，詳細(xì)討論了二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)．該書于1665年出版后，影響很大．由于帕斯卡在數(shù)學(xué)界的威望，人們習(xí)慣地稱此三角形為帕斯卡三角形．實(shí)際上，他的功績(jī)主要是通過(guò)組合公式給出了二項(xiàng)式系數(shù)，即(a+b)n牛頓(T．Newton，1643 1727)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，這個(gè)公式不僅適用于指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)展開(kāi)式，而且當(dāng)指數(shù)為分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，同樣適用．他把二項(xiàng)式定理推廣到分指數(shù)和負(fù)指數(shù)的情形，指出這三種形式的二項(xiàng)展開(kāi)式第1項(xiàng)都是1，后面各項(xiàng)系數(shù)及字母指數(shù)也具有相同的變化規(guī)律：設(shè)n，m為正整數(shù)，則如果括號(hào)里是a-b，則第k＋1項(xiàng)的符號(hào)由(－1)k決定．它們的區(qū)別只牛頓的這些研究成果，是在17世紀(jì)60年代取得的，但直到1676年6月給萊布尼茨的信中，才首次透露．另外，萊布尼茨和日本的關(guān)孝和(1642 1708)各自獨(dú)立地發(fā)明了行列式，并建立起關(guān)于行列式的初步理論，這也是17世紀(jì)的代數(shù)成果之一．關(guān)孝和是日本傳統(tǒng)數(shù)學(xué) 和算的奠基人．他的貢獻(xiàn)還有：發(fā)現(xiàn)方程正負(fù)根存在的條件及與牛頓迭代法類似的解法，給出圓的徑、弧、矢間關(guān)系的無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)式，等等．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:07:38巴比倫的數(shù)學(xué)巴比倫人和埃及人一樣，是首先對(duì)數(shù)學(xué)的萌芽作出貢獻(xiàn)的民族，對(duì)其原始數(shù)學(xué)內(nèi)容的考證，大部分來(lái)自近百年來(lái)考古研究的結(jié)果．一、記數(shù)法與進(jìn)位制一百多年前，人們發(fā)現(xiàn)巴比倫人是用楔形文字(Cuneiform)來(lái)記數(shù)的．他們是用頭部呈三角形的木筆把字刻寫在軟泥板上，然后，用火燒或曬干使它堅(jiān)如石，以便保存下來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)交流．由于字的形狀象楔子，所以人們稱為楔形文字．他們用垂直的楔形來(lái)表示1，如 ．用末端二個(gè)橫向楔形表示10，如 ．用記號(hào) 表示35．用記號(hào) 表示9，后來(lái)簡(jiǎn)化為 ．以上可以看出，巴比倫人創(chuàng)建的數(shù)的體系與埃及、羅馬數(shù)字頗為相似．但是，值得我們注意的是巴比倫人已經(jīng)有了位值制的觀念，通常為60進(jìn)制．這種認(rèn)識(shí)的主要根據(jù)是地質(zhì)學(xué)家勞夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森開(kāi)萊(現(xiàn)在的拉山或拉莎)發(fā)掘出漢穆拉比時(shí)代的泥板書，上面記載著一串?dāng)?shù)字，前7個(gè)是1，4，9，16，25，36，49，之后中斷，而在應(yīng)該是64的地方，看到的卻是1 4，其后接著寫出1 21，再后是2 24，直到最后寫的是58 1．這個(gè)數(shù)列只有假定其為60進(jìn)位時(shí)，才能很自然接續(xù)，即：1 4＝60＋4＝64=82，1 21=60＋21＝81＝92，58 1=58 60＋1＝3481＝592．應(yīng)該指出，巴比倫人的位值制有時(shí)也不甚明確；因?yàn)橥暾奈恢抵朴洈?shù)法，必須有表示零的記號(hào)，但在早期的泥板書上尚沒(méi)有發(fā)現(xiàn)零號(hào)．例如，(5 6 3)可表示5 602＋6 60＋3＝18363，也可表 下文來(lái)分析、確定．古巴比倫的60進(jìn)位法之產(chǎn)生年代是相當(dāng)久遠(yuǎn)的．但據(jù)有的材料記載，早期的蘇默人是不知道60進(jìn)位制的．從他們所用的數(shù)學(xué)符號(hào)中可以看出，大約在公元前3000年以前，是用以下記號(hào)來(lái)記數(shù)的：1，10，60的記號(hào)是用頭部是圓形的木筆刻成，而1和60的記號(hào)都是半圓形，只是大小不一樣，10的記號(hào)是圓形，600的記號(hào)是10和到了公元前2000年左右，開(kāi)始使用楔形文字，以此又建立一套數(shù)的記號(hào)，不妨做如下比較：通過(guò)如上二種數(shù)碼的表示法之比較，不難看出，巴比倫采用60進(jìn)制是很自然的①．二、算術(shù)運(yùn)算由于巴比倫從1到59的數(shù)碼都是以1和10或更多一些數(shù)的記號(hào)為基本記號(hào)結(jié)合而成的，因此，在此范圍內(nèi)的加減法不過(guò)是加上或去掉某種記號(hào)罷了．巴比倫人對(duì)整數(shù)的乘法，采取了 分乘相加 的方法．例如，某數(shù)乘以27，他們先乘20，再乘7，然后把結(jié)果相加，最后得出結(jié)果．他們還造出了一些乘法表．(左邊是巴比倫人的記號(hào)，右邊用現(xiàn)代符號(hào)表示)巴比倫人在做整數(shù)除以整數(shù)時(shí)，采用了乘以倒數(shù)的方法，并且還造出了倒數(shù)表．巴比倫人研究了數(shù)的平方和開(kāi)平方、立方和開(kāi)立方的問(wèn)題．當(dāng)方根是整數(shù)時(shí)，給出了準(zhǔn)確的值．對(duì)于其它方根，由于采用60進(jìn)位制，只能是近似值．并造出了簡(jiǎn)單的平方、平方根、立方、立方根表．巴比倫人也曾給出了求a2＋b型的方根近似公式：數(shù)大．到了希臘時(shí)期，著名數(shù)學(xué)家阿基米德(Archi－medes)、海倫(Heron)創(chuàng)造出了平方后比原數(shù)小的近似公式．三、代巴比倫人不但具有數(shù)系和數(shù)字運(yùn)算的一些知識(shí)，他們也具有處理一般代數(shù)問(wèn)題的能力．例如：在賽凱萊(Senkereh)出土的古巴比倫(漢穆拉比王朝時(shí)期)的原典AO8862，記載著下面的問(wèn)題：(用現(xiàn)代語(yǔ)言敘述)一塊長(zhǎng)方形土地面積加上長(zhǎng)與寬之差為3.3①(即183)，而長(zhǎng)與寬之和為27，這塊地的長(zhǎng)、寬、面積各幾何？(1)古巴比倫人的解法：(按60進(jìn)制計(jì)算)27＋3.3=3.302＋27=2929 2＝14.3014；30 14；30＝3.30；153.30；15-3.30＝0；150；15的平方根是0；3014；30＋0；30=15 (長(zhǎng))14；30-0；30=14因?yàn)樵瓉?lái)是將27加上2，現(xiàn)在應(yīng)從14減2，則寬是14－2= 12故得到，15 12＝3.0(面積)15-2＝133.0＋3＝3.讀者可以辨認(rèn)，以上例題的解法是從6行到29行之間，是用楔形文字書寫的．(2)如果用現(xiàn)代的列二元一次方程組的方法解，則很簡(jiǎn)便．設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y，可列成如下方程組：從AO8862原典的最后一行的結(jié)果看出，x＝15，y＝12是滿足方程組(1)的解的．在前面解題時(shí)，實(shí)際上是用新的寬y"代替原寬y，即：y"=y+2，y=y"-2．使用如上這種代換方法，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化了．代換后，可得到新的二元一次方程組：把方程組(2)的第1式加到方程組(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地寫著)27+3.3=3.302+27＝29之后，繼續(xù)解方程組(2)．從上邊的具體問(wèn)題求解中，我們可以悟出解方程組的一般方法，用現(xiàn)代符號(hào)表示，可謂：其解為：巴比倫人求解的各個(gè)步驟是符合解方程組的一般方法的，但是，他們沒(méi)有給出求解的一般公式．在巴比倫人利用楔形文字撰寫的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由兩正方形并組成一個(gè)面積為1000，一正方形邊為另一正方形邊的巴比倫人是按如下方法求解的：(用現(xiàn)代符號(hào)表示)設(shè)兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為x，y．得到一個(gè)正整數(shù)解為：x＝30．以上說(shuō)明巴比倫人在漢穆拉比時(shí)代已經(jīng)掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算術(shù)方法求解．巴比倫人對(duì)簡(jiǎn)單的三次和四次方程也求解過(guò)．例如在原典中有這樣的題目：一個(gè)立方體，其體積為長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，體積為V，實(shí)際上是求解方程組解此方程組，涉及算立方根問(wèn)題，巴比倫人用數(shù)表來(lái)求解(見(jiàn)算術(shù)運(yùn)算部分的數(shù)表)．四、幾何在古巴比倫時(shí)期，常常把幾何問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決．在他們心目中，幾何似乎不占有重要位置．但是，在20世紀(jì)中葉布爾昂(E．M．Buuins)博士和魯達(dá)(M．Rutten)撰寫的《斯薩數(shù)學(xué)書》(Textes math matiques de Suse，M moiresMission arch ol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯薩出土的古巴比倫的楔形文字原典中，含有求正多邊形和圓的面積的近似公式，說(shuō)明古巴比倫人對(duì)幾何問(wèn)題也有一定的興趣．例如，在拉爾薩(Larsa)出土的古巴比倫原典VAT8512中，有下面的問(wèn)題(用現(xiàn)代符號(hào)和語(yǔ)言敘述)．已知底邊b＝30的三角形，由平行于底的直線把其分成兩部分，即高分別為h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面積F1-F2＝S＝7.0 h2-h1=h＝20，求割線長(zhǎng)(x)．由以上條件，可建立如下關(guān)系式：由圖2．3可知，比例式h2∶h1=x∶(b-x) (5)成立．根據(jù)以上條件，可解出x，即：由上可知，巴比倫人建立的關(guān)于x，h1，h2的關(guān)系式是正確的．但是，還沒(méi)有理由(證據(jù))說(shuō)明以上是一種純粹代數(shù)的推演．?dāng)?shù)學(xué)史家尤伯爾(P．Huber)對(duì)(4)式做了如下解釋(Isis Vol46，p104)：如果在三角形一邊加一個(gè)長(zhǎng)為h1＋h2的長(zhǎng)方形，拼成一個(gè)上、下底邊長(zhǎng)分別為c和a＝c＋b的梯形，延長(zhǎng)割線x，把此梯形分成兩部分，如圖2．4其面積差為：(F1-F2)-c(h2-h1)＝s-ch．的面積分成二等分z，并給出(參考MKT I，p131)可得到(6)式的證明：按照尤伯爾的解釋，以上的解法思路是幾何學(xué)的思想，而不是代數(shù)的．巴比倫人很早就知道畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，并能應(yīng)用此定理解決具體的、比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在古巴比倫的數(shù)學(xué)原典中有記載，并使用了1500年之久，直到賽萊烏科斯王朝時(shí)代(公元前310年以后)的著作中，仍有記載．巴比倫人也會(huì)求棱柱、圓柱、棱臺(tái)、圓臺(tái)的體積，他們用高乘以兩底面積和的一半的方法進(jìn)行計(jì)算．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:24:29阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是指7世紀(jì)伊斯蘭教興起后，崛起于阿拉伯半島，建立在橫跨亞、非、歐三洲的阿拉伯帝國(guó)統(tǒng)治下各民族所開(kāi)創(chuàng)的數(shù)學(xué)．通常所謂伊斯蘭國(guó)家的數(shù)學(xué)或中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)也是指阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．在伊斯蘭國(guó)家里，科學(xué)文化的發(fā)展是許多民族的學(xué)者共同勞動(dòng)的結(jié)果，數(shù)學(xué)也不例外．他們是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希臘人、敘利亞人、摩爾人、猶太人和阿拉伯人，等等．他們大都是伊斯蘭教徒．講到這一時(shí)期這一地區(qū)的數(shù)學(xué)，沒(méi)有很恰當(dāng)?shù)脑~語(yǔ)來(lái)表述，由于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)著作都是用阿拉伯文撰寫的，一般就統(tǒng)稱為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．上述各民族的學(xué)者有時(shí)也統(tǒng)稱為阿拉伯人．公元6世紀(jì)以前，阿拉伯人過(guò)著游牧部落生活．當(dāng)時(shí)阿拉伯半島盛行多神崇拜，各部落間戰(zhàn)爭(zhēng)連綿不斷．由于東西商路改道，社會(huì)經(jīng)濟(jì)日趨衰落，要求改變這種社會(huì)狀況和實(shí)現(xiàn)政治統(tǒng)一，成為各部落的共同愿望．伊斯蘭教的創(chuàng)始人默罕穆德(Mvhammad，約570 632)，出生于阿拉伯半島麥加城的一個(gè)沒(méi)落貴族家庭，早年曾隨商隊(duì)到過(guò)敘利亞等地，后來(lái)回到麥加城經(jīng)商．公元610年，在麥加開(kāi)始創(chuàng)傳以信仰一神為中心的伊斯蘭教．后因遭到多神教徒的反對(duì)和迫害，于公元622年秘密出走麥地那．他在那里組織了一個(gè)接受伊斯蘭教的阿拉伯部落聯(lián)盟，號(hào)召所有伊斯蘭教徒 穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血緣的狹隘界限以共同的信仰為紐帶團(tuán)結(jié)起來(lái)．伊斯蘭教就這樣在阿拉伯半島創(chuàng)立并迅速傳播開(kāi)去，成為團(tuán)結(jié)阿拉伯人的一種力量．阿拉伯部落統(tǒng)一后，形成了一個(gè)威勢(shì)很大的軍事力量．在 與異教斗爭(zhēng) 的神圣口號(hào)下，迅速向東方和西方的富饒國(guó)家入侵，并在被征服的國(guó)家里普及了伊斯蘭教．不到一個(gè)世紀(jì)，阿拉伯人就占領(lǐng)并統(tǒng)治了幾乎整個(gè)比利牛斯半島、所有地中海沿岸的非洲國(guó)家、近東地區(qū)、高加索和中亞細(xì)亞，形成了一個(gè)橫跨歐、亞、非三洲的強(qiáng)大的阿拉伯帝國(guó)．我國(guó)歷史上稱之為大食國(guó)．由于哈利發(fā)政權(quán)的對(duì)立斗爭(zhēng)，在8世紀(jì)中葉，大食國(guó)分裂為東大食和西大食．東大食的首都是巴格達(dá)，西大食的首都是科爾多瓦(Cordova)．公元1000年到1300年之間，基督教十字軍東侵，把穆斯林逐出圣地．13世紀(jì)初，成吉思汗率蒙古部隊(duì)西征．13世紀(jì)中葉，成吉思汗之孫旭烈兀再次率兵西征，占領(lǐng)了原來(lái)阿拉伯哈利發(fā)在亞洲的所有領(lǐng)土，創(chuàng)立了伊兒汗國(guó)．蒙古人征服了這些伊斯蘭國(guó)家后不久，他們自己也都皈依了伊斯蘭教．到了14、15世紀(jì)，在中亞又出現(xiàn)了另一個(gè)蒙古帝國(guó) 帖木耳國(guó)．12世紀(jì)末，西班牙人推翻最后一個(gè)摩爾人的統(tǒng)治，阿拉伯人失去了他們?cè)跉W洲的立足點(diǎn)．在阿拉伯帝國(guó)的統(tǒng)治下，被征服的民族很快轉(zhuǎn)向伊斯蘭教．同時(shí)，阿拉伯語(yǔ)很快成為各國(guó)通行的語(yǔ)言，在知識(shí)界成為學(xué)術(shù)交流的工具．這和中世紀(jì)西方各國(guó)把拉丁語(yǔ)作為通用語(yǔ)言一樣．阿拉伯人和其它民族的人民共同創(chuàng)造了新的、別具一格的文化．當(dāng)時(shí)歐洲正處在漫長(zhǎng)的黑暗時(shí)期，阿拉伯世界的科學(xué)文化卻后來(lái)居上，成為當(dāng)時(shí)的人類科學(xué)文化中心之一．8世紀(jì)中葉至9世紀(jì)初，出現(xiàn)了幾位熱心提倡科學(xué)的哈利發(fā)：曼蘇爾(al－Mansur，712 775)，阿倫 賴世德(Hārūnar－Rashid， 765 809)，馬蒙(al－Mamun， 786 833)等．在他們的大力支持和鼓勵(lì)下，設(shè)立學(xué)校、圖書館和觀象臺(tái)．在東阿拉伯形成了以巴格達(dá)為首的學(xué)術(shù)中心．哈利發(fā)馬蒙在巴格達(dá)創(chuàng)辦了著名的 智慧館 (Bayt al－Hikmah)．這是自公元前 3世紀(jì)亞歷山大博物館之后最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān)，除用作翻譯館外，還起到科學(xué)院和公共圖書館的作用，它還附設(shè)一座天文臺(tái)．在這里，大量的波斯、希臘和印度的古典著作被系統(tǒng)地譯為阿拉伯文．哈利發(fā)還組織力量對(duì)這些著作進(jìn)行廣泛而深入的研究．就這樣，東西方的文華精華被融合在一起，出現(xiàn)了一個(gè)學(xué)術(shù)繁榮時(shí)期．阿拉伯的數(shù)學(xué)研究就從這里開(kāi)始．從8世紀(jì)起，大約有一個(gè)到一個(gè)半世紀(jì)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的翻譯時(shí)期．由于阿拉伯人能夠控制或取得拜占庭帝國(guó)、埃及、敘利亞、波斯及印度諸國(guó)的人才和文化，所以他們得以接觸幾乎所有的古代重要著作．歐幾里得(Euclid，約公元前330 前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287 前212)、阿波羅尼奧斯(Apollonius，約公元前262 前190)、海倫(Heron ofAlexandria，約62年)、托勒密(Ptolemy，約100 約170)、丟番圖(Diophantus，250)、以及婆羅摩笈多(Brahmagupta，598 665)等著名學(xué)者的數(shù)學(xué)和天文學(xué)著作都被譯成阿拉伯文．在翻譯過(guò)程中，許多文獻(xiàn)被重新校訂、考證、勘誤、增補(bǔ)和注釋．這樣一來(lái)，大量的古代科學(xué)遺產(chǎn)獲得了新生．已經(jīng)荒廢了幾個(gè)世紀(jì)的古代學(xué)者的著作又重新成為人們手頭的教材．當(dāng)古希臘的原著失傳之后，這些阿拉伯文譯本就成為后來(lái)歐洲人了解古希臘數(shù)學(xué)的主要來(lái)源，而許多古希臘時(shí)期的著作也正是通過(guò)它們的阿拉伯文譯本才得以流傳下來(lái)．在上述漫長(zhǎng)而有效的翻譯時(shí)期之后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)出現(xiàn)了一個(gè)創(chuàng)造性的活躍時(shí)期．阿拉伯人不僅繼承了古典科學(xué)遺產(chǎn)，而且使之適合自己的特殊需要和思想方法．他們吸取和保存了希臘和印度數(shù)學(xué)的精華，加上他們自己的創(chuàng)造性勞動(dòng)，建立起獨(dú)具風(fēng)格的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．他們的貢獻(xiàn)為世界數(shù)學(xué)寶庫(kù)增添了光彩．阿拉伯人引進(jìn)了印度數(shù)字及其記數(shù)法，利用古代數(shù)學(xué)方法廣泛地解決了一系列計(jì)算，特別是天文計(jì)算問(wèn)題．他們的近似計(jì)算達(dá)到了很高的精確度．在代數(shù)學(xué)方面，他們建立了一元二次方程的一般解法，三次方程的幾何解法，并把代數(shù)學(xué)明確地定義為 解方程的科學(xué) ．他們的工作為代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了方向．在三角學(xué)方面，他們引進(jìn)了幾種新的三角函數(shù)，建立了若干三角公式，制造了大量的三角函數(shù)表．更重要的是，三角學(xué)通過(guò)他們的工作開(kāi)始脫離天文學(xué)而獨(dú)立．阿拉伯人為證明歐幾里得第五公設(shè)作過(guò)多次嘗試，推進(jìn)了平行線理論的研究．阿拉伯的數(shù)學(xué)著作具有自己的風(fēng)格．許多著作十分注意證明的論據(jù)，材料的系統(tǒng)安排和敘述的清晰性．大量書籍中都會(huì)見(jiàn)到具有東方民族特點(diǎn)的豐富有趣的例題和習(xí)題，這些問(wèn)題往往具有十分新穎的實(shí)際內(nèi)容．
