解放軍文職招聘考試朱世杰及元代數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:29:09朱世杰及元代數(shù)學(xué)一、元初數(shù)學(xué)成就1．王恂的數(shù)學(xué)工作王恂(1235 1281)，元代數(shù)學(xué)家．字敬甫，唐縣(今屬河北)人．他 六歲就學(xué)，十三歲學(xué)九數(shù)，輒造其極 ．后從劉秉忠學(xué)，官至太史令．至元十七年(1280)與天文學(xué)家郭守敬(1231 1316)等共同編成《授時(shí)歷》，其中的數(shù)學(xué)工作主要是王恂作的．唐代張遂制訂歷法時(shí)，假定太陽作勻加速運(yùn)動(dòng)，所以使用二次內(nèi)插法．但實(shí)際上，太陽運(yùn)行的加速度是不斷變化的．在《授時(shí)歷》中，王恂把太陽、月亮及五星的視行度當(dāng)作時(shí)間的三次函數(shù)，采用三次內(nèi)插法來求函數(shù)值，收到更好效果．但確定天體位置需要使用赤道坐標(biāo)和黃道坐標(biāo)，王恂之前是直接通過天文觀測(cè)來確定這兩種坐標(biāo)的．王恂首先注意到兩種坐標(biāo)的數(shù)學(xué)關(guān)系，提出如下問題：已知太陽的 黃道積度 ，求 赤道積度 和 赤道內(nèi)外度 ．如圖8．16，設(shè)A為春分點(diǎn)，D為夏至點(diǎn)，其中d為直徑，BN OC，CP OE．只要測(cè)得黃道坐標(biāo)，便可利用上述公式及其他有關(guān)知識(shí)推出相應(yīng)的赤道坐標(biāo)，從而使人們經(jīng)過較少的實(shí)測(cè)，得到較多的結(jié)果．2．趙友欽的割圓術(shù)趙友欽，元代天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家．字子公，號(hào)緣督先生，鄱陽(今江西鄱陽)人，生卒年不詳．所著《革象新書》是一部天文數(shù)學(xué)著作．作圓內(nèi)接正方形，然后不斷倍增邊數(shù)，依次求得各內(nèi)接正多邊形邊長(圖8．17)． 置第十二次之小弦以第十二次之曲數(shù)一萬六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸徑之周圍也．周率近似值中最準(zhǔn)確的一個(gè)．趙友欽說： 自一、二次求之以至一十二次，可謂極其精密．若節(jié)節(jié)求之，雖至千萬次，其數(shù)終不窮． 可見他不僅認(rèn)識(shí)到圓內(nèi)接正多邊形的極限位置是圓，而且認(rèn)識(shí)到極限是一個(gè)不可窮盡的過程，這種思想與現(xiàn)代極限觀念相當(dāng)接近．趙友欽還進(jìn)一步揭示了方、圓關(guān)系，說： 要之方為數(shù)之始，圓為數(shù)之終．圓始于方，方終于圓． 這種 曲直互通 的思想是很深刻的，他已認(rèn)識(shí)到方可轉(zhuǎn)化為圓，而轉(zhuǎn)化的條件便是取極限．二、朱世杰生平朱世杰，元代數(shù)學(xué)家．字漢卿，號(hào)松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不詳．元統(tǒng)一中國后，朱世杰曾以數(shù)學(xué)家的身份周游各地二十余年，向他求學(xué)的人很多，他到廣陵(今揚(yáng)州)時(shí) 踵門而學(xué)者云集 ．朱世杰全面繼承前人的數(shù)學(xué)成果，他吸收了高次方程的數(shù)值解法，又吸收了北方的天元術(shù)及南方的各種日用算法、數(shù)學(xué)口訣等，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)造性研究，寫成以總結(jié)和普及當(dāng)時(shí)各方面數(shù)學(xué)知識(shí)為宗旨的《算學(xué)啟蒙》(三卷)和四元術(shù)的代表作《四元玉鑒》(三卷)，先后于1299年和1303年刊印．朱世杰是元代最杰出的數(shù)學(xué)家，清羅士琳(1774 1853)說他 兼包眾有，充類盡量，神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上． 《四元玉鑒》的成書則標(biāo)志著宋元數(shù)學(xué)達(dá)到最高峰．美國科學(xué)史家薩頓(G．Sarton)稱贊該書 是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，也是中世紀(jì)的杰出數(shù)學(xué)著作之一．三、《算學(xué)啟蒙》《算學(xué)啟蒙》的內(nèi)容由淺入深，次第謹(jǐn)嚴(yán)，從一位數(shù)乘法開始，一直講到當(dāng)時(shí)的最新數(shù)學(xué)成果 天元術(shù)，形成一個(gè)完整體系，內(nèi)容包括多位數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、面積和體積計(jì)算、比例問題、垛積術(shù)、盈不足術(shù)、線性方程組、高次方程解法等．尤其引人注目的是，卷首 總括 中給出一整套數(shù)學(xué)概念及運(yùn)算法則，作為全書的理論基礎(chǔ)．其中包括正負(fù)數(shù)乘法法則及倒數(shù)概念．朱世杰明確指出： 同名(號(hào))相乘為正，異名相乘為負(fù)． 又指出： 平除長為小長，長除平為小平． 小長平相乘得一步為小積． 這便給出倒數(shù)的基本性質(zhì)在《算學(xué)啟蒙》中，朱世杰借助輔助未知數(shù)解線性方程組，這在數(shù)學(xué)史上還是首次．例如卷下 方程正負(fù)門 第五題，依術(shù)列方程組如下(改用現(xiàn)代符號(hào))：這種方法對(duì)于簡(jiǎn)化運(yùn)算程序是很有意義的，系數(shù)越復(fù)雜，設(shè)輔助未知數(shù)的方法就越有用．另外，書中把天元術(shù)廣泛用于各種面積和體積問題，導(dǎo)出許多高次方程，這說明天元術(shù)在李冶的基礎(chǔ)上有了進(jìn)一步的發(fā)展．朱世杰還致力于算法研究，給出一些新的公式，如 開方釋鎖門 給出根式運(yùn)算法則其中n，a，b為自然數(shù)，n 2．《算學(xué)啟蒙》為《四元玉鑒》提供了必要的預(yù)備知識(shí)，正如羅士琳所說，該書 似淺實(shí)深 ，與《四元玉鑒》 相為表里 ．四、《四元玉鑒》《四元玉鑒》的主要成就是四元術(shù)，即四元高次方程組的建立和求解方法．在他之前，已有李德載《兩儀群英集臻》討論二元術(shù)，劉大鑒《乾坤括囊》討論三元術(shù)．在此基礎(chǔ)上，朱世杰 演數(shù)有年，探三才之賾，索九章之隱，按天、地、人、物立成四元 (《四元玉鑒》后序)，創(chuàng)立了舉世聞名的四元術(shù)．朱世杰的天、地、人、物，相當(dāng)于現(xiàn)在的x，y，z，u，其擺法如圖8 .18，例如方程-x2+3xy-2xz+x-y-z=0(卷下 三才變通 第1題)及2u4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下 四象朝元 第6題)分別擺成圖8.19和圖8.20的形狀．《四元玉鑒》共24門288問，所有問題都與方程或方程組有關(guān)．題目順序大體是先方程后方程組，先線性方程組后高次方程組．朱世杰創(chuàng)造了一套完整的消未知數(shù)方法，稱為四元消法．這種方法在世界上長期處于領(lǐng)先地位，直到18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家貝祖(E.Bezoub,1730 1783)提出一般的高次方程組解法，才超過朱世杰．但朱世杰的消法要點(diǎn)僅見于書首 假令四草 ，其他各題均無草．書首還列有 今古開方會(huì)要之圖 、 四元自乘演段之圖 、 五和自乘演段之圖 和 五較自乘演段之圖 ，這些圖的作用也是統(tǒng)御全書．朱世杰說： 凡習(xí)四元者，以明理為務(wù)．必達(dá)乘除、升降、進(jìn)退之理，乃盡性窮神之學(xué)也． 卷首各圖便是為 明理 而作，他說： 夫算中玄妙，無過演段．如積幽微，莫越認(rèn)圖．其法奧妙，學(xué)者鮮能造其微．前明五和，次辨五較，自知優(yōu)劣也．《四元玉鑒》表明，朱世杰在方程領(lǐng)域取得重要成就．以前的方程都是有理方程，朱世杰則突破有理式的限制，開始討論無理方程．他不化為有理方程(見 左右逢源 第21題， 撥換截田 第18題， 四象朝元 第1題)．四元消法是朱世杰方程理論的核心．他通過方程組中不同方程的配合，依次消掉未知數(shù)，化四元式為一元式，即一元高次方程．三元式和四元式的消法稱為 剔而消之 ，即把全式剔分為二，進(jìn)行相消．二元式的消法稱為 互隱通分相消 ．下面以二元三行式為例說明其消法．其中各系數(shù)是關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的多項(xiàng)式(可以是常數(shù))．欲消x2項(xiàng)，先以B2乘(1)式中x2項(xiàng)以外各項(xiàng)，再以A2乘(2)式中x2項(xiàng)以外各項(xiàng)，相減，得C1x＋C0＝0． (3)以x乘(3)，得C1x2＋C0x=0． (4)將(4)與(1)或(2)聯(lián)立，用同樣方法消去x2項(xiàng)，得D1x+D0＝0． (5)(3)與(5)聯(lián)立，便為二元二行式．朱世杰稱C1，D0為外二行，C0，D1為內(nèi)二行．內(nèi)二行乘積與外二行乘積相減，得C1D0-C0D1＝0．這便消去x，得到只含另一個(gè)未知數(shù)的一元方程了．《四元玉鑒》含二元問題36個(gè)，三元問題13個(gè)，四元問題7個(gè)．雖然用到四元術(shù)的題目不多，但它們卻代表了全書，也代表了當(dāng)時(shí)世界范圍內(nèi)方程組理論的最高水平． 四象朝元 第6題所導(dǎo)出的十四次方程是中國古算史上次數(shù)最高的方程．高階等差級(jí)數(shù)理論是書中另一成就．沈括的隙積術(shù)開了研究高階等差級(jí)數(shù)的先河，楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級(jí)數(shù)求和公式．朱世杰在這一領(lǐng)域作了總結(jié)性工作．在中卷 茭草形段 和下卷 果垛疊藏 中，他依次研究了一階至五階等差級(jí)數(shù)求和問題，不僅給出相應(yīng)的公式，而且發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，掌握了如下的三角垛統(tǒng)一公式從而奠定了垛積術(shù)的理論基礎(chǔ)．實(shí)際上，等差級(jí)數(shù)是幾階的，便可把上式中的p換為幾．朱世杰給出了p＝1，2， ，5的特例．他還發(fā)現(xiàn)垛積術(shù)與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系，在 如象招數(shù) 第5題中利用垛積術(shù)導(dǎo)出四次內(nèi)插公式(四次差為一非零常數(shù)，五次差為零)：其中 1， 2， 3， 4分別為一次差、二次差、三次差、四次差．由于朱世杰正確指出了公式中各項(xiàng)系數(shù)恰好是一系列三角垛的積，他顯然能夠解決更高次的內(nèi)插問題，從而把中國古代的內(nèi)插法推向一個(gè)新水平．在幾何方面，朱世杰也有一定的貢獻(xiàn)．自《九章算術(shù)》以來，中國就有了平面幾何與立體幾何，但一直到北宋，幾何研究離不開勾股和面積、體積．李冶開始注意到圓城圖式中各元素的關(guān)系，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形．朱世杰在李冶思想的基礎(chǔ)上，深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了平面幾何中的射影定理和特殊情形的弦冪定理．例如卷上 混積問元 第七題，如圖8．21，朱世杰得到公式易證等號(hào)左面等于h2，所以此式與射影定理h2＝ef等價(jià)．再如卷中 撥換截田 第十四題，如圖8．22，AB CD于E，朱世杰給出公式4CE ED＝AB2此式顯然是弦冪定理CE ED＝AE EB在兩弦垂直且有一弦為直徑時(shí)的特殊情形．五、宋元數(shù)學(xué)的外傳及衰落《算學(xué)啟蒙》出版后不久即傳到朝鮮和日本．在朝鮮李朝時(shí)期(14 16世紀(jì))，《算學(xué)啟蒙》及《楊輝算法》都被作為朝廷選拔算官的基本書籍．兩書的朝鮮慶州府刻本(15世紀(jì))一直保存至今．由于《算學(xué)啟蒙》在明代失傳，清羅士琳幸得朝鮮金始振翻刻本(1660)，于1839年在揚(yáng)州重新出版，成為中國現(xiàn)存各版本的母本．《算學(xué)啟蒙》對(duì)日本的影響也很大，不少日本學(xué)者在研究此書的基礎(chǔ)上寫出專著，比較著名的有星野實(shí)宣《新編算學(xué)啟蒙注解》三卷(1672)、建部賢弘《算學(xué)啟蒙諺解大全》七卷(1690)等．宋元數(shù)學(xué)還曾傳到阿拉伯．13世紀(jì)旭烈兀①西征時(shí)，帶走了一批中國天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家．他征服波斯后支持納西爾丁(Na－sirad－Din，1201 1274)在馬拉蓋(Maraghen，今伊朗境內(nèi))建立了一座規(guī)模宏大的天文臺(tái)，并把帶去的中國學(xué)者留在天文臺(tái)和納西爾丁一起工作，這是中國數(shù)學(xué)傳入阿拉伯國家的一個(gè)途徑．阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西(al－kāshī，？ 1429)的《算術(shù)之鑰》(The Key of Arithmetic，1427)中有不少內(nèi)容與中國數(shù)學(xué)相同，如賈憲三角形、增乘開方法，以及和 百雞問題 極為類似的 百禽問題 等．他受到中國數(shù)學(xué)影響是可以肯定的，當(dāng)然不排除其獨(dú)立取得成果的可能性．在元代，阿拉伯?dāng)?shù)碼曾傳入中國，但并未被中國人接受．歐幾里得《幾何原本》也傳到上都(今內(nèi)蒙古正藍(lán)旗)，可惜沒有譯成中文，所以影響不大，不久便散失了．朱世杰之后，元代數(shù)學(xué)便開始走下坡路．明代數(shù)學(xué)理論水平遠(yuǎn)不及宋元，天元術(shù)、四元術(shù)成為絕學(xué)．直到明末清初，由于西方數(shù)學(xué)的傳入及中國學(xué)者的努力，數(shù)學(xué)才有所回升．那么，宋元數(shù)學(xué)衰落的原因是什么呢？首先，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是依靠算籌的，雖然這是一種很有用的計(jì)算工具，但具有不可避免的局限性，因?yàn)樗贿m于計(jì)算而不適于證明，只能表示具體的量而不能表示抽象的量．這就限制了人們的抽象思維，限制了數(shù)學(xué)一般化程度的提高．宋元方程理論可以由天元術(shù)發(fā)展為四元術(shù)，但在籌算體系內(nèi)卻無法建立五元術(shù)或n元術(shù)，因?yàn)樗膫€(gè)未知數(shù)已把 太 的上下左右占滿．這個(gè)例子便說明了算籌的局限性．更重要的是，人們無法利用算籌進(jìn)行邏輯推理，也很難在籌算體系內(nèi)發(fā)展數(shù)學(xué)符號(hào)．但這些消極因素的總和，充其量是使數(shù)學(xué)停滯不前．而事實(shí)上，元末數(shù)學(xué)不僅沒前進(jìn)，反而后退．造成這種狀況的原因就不在數(shù)學(xué)內(nèi)部，而在于社會(huì)了．當(dāng)時(shí)的政策是不利于科學(xué)發(fā)展的，尤其是八股取士制．1314年恢復(fù)科舉考試后，內(nèi)容以朱熹集注的《四書》為主，將數(shù)學(xué)內(nèi)容完全取消．不久，這種考試發(fā)展為 以四書五經(jīng)命題、八股文取士 的制度，引導(dǎo)知識(shí)分子遠(yuǎn)離自然科學(xué)，嚴(yán)重束縛了讀書人的思想．知識(shí)分子們?yōu)榱斯γ?，紛紛埋頭于《四書五經(jīng)》，只會(huì)在儒家經(jīng)典中尋章摘句，奢談三綱五常之類的封建倫理，哪里還顧得上數(shù)學(xué)及其他有實(shí)用價(jià)值的科學(xué)技術(shù)呢？正如元末丁巨所說： 時(shí)尚浮辭，動(dòng)言大綱 士類以科舉故，未暇篤實(shí)． 八股取士制的危害，在明代愈演愈烈，顧炎武曾痛斥說： 開科取士，則天下之人日愚一日． 元末以后的社會(huì)思潮也不利于數(shù)學(xué)發(fā)展，成為官方哲學(xué)的理學(xué)完全摒棄了自然科學(xué)．理學(xué)家們大談天理、人倫，認(rèn)為科學(xué)技術(shù)乃雕蟲小技，為君子所不齒，甚至譏笑研究數(shù)學(xué)的人是 玩物喪志 ．在這種社會(huì)環(huán)境中，數(shù)學(xué)由盛而衰就不奇怪了．
解放軍文職招聘考試埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景及研究依據(jù)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-21 20:24:00埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景及研究依據(jù)埃及是數(shù)學(xué)古國，被人們認(rèn)為是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的最早國家之一，因此，在研究數(shù)學(xué)歷史的時(shí)候，必須提及埃及的數(shù)學(xué)．對(duì)埃及數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，曾有過各種不同的看法，例如，希臘的邏輯學(xué)家亞里士多德(Aristotle，公元前384---約前322)在其《形而上學(xué)》一書中指出： 之所以在埃及能夠產(chǎn)生數(shù)學(xué)，是受到上帝的恩賜． 對(duì)此，恩格斯在《反杜林論》中明確指出： 數(shù)學(xué)是人的需要中產(chǎn)生的，是從丈量土地和測(cè)量容積，從計(jì)算時(shí)間和制造器皿產(chǎn)生的． 事實(shí)上，埃及的數(shù)學(xué)產(chǎn)生，符合恩格斯的精辟闡述．一、埃及數(shù)學(xué)產(chǎn)生的社會(huì)背景埃及位于尼羅河岸，在古代分為兩個(gè)王國，夾在兩個(gè)高原中間的狹長谷地，叫做上埃及．處于尼羅河三角洲的地帶叫做下埃及．這兩個(gè)王國經(jīng)過長時(shí)期的斗爭(zhēng)，在公元前3200年實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一，并建都于下游的孟斐斯(Memphis)．尼羅河經(jīng)常泛濫，淹沒良田．在地界被沖刷的情況下，統(tǒng)治者要按不同數(shù)量征糧征稅，這樣，必須重新丈量土地．實(shí)際上，埃及的幾何學(xué)就起源于此．希臘的歷史學(xué)家希羅多德(Herodo- tus，約公元前484---前424)在《歷史》(Herodoti Historiae)一書中，明確指出： 塞索特拉斯(Sesostris)在全體埃及居民中間把埃及的土地作了一次劃分．他把同樣大小的正方形土地分給所有的人，并要求土地持有者每年向他繳納租金，作為他的主要稅收．如果河水泛濫，國王便派人調(diào)查并測(cè)量損失地段的面積．這樣，他的租金就要按照減少后的土地的面積來征收了．我想，正是由于有了這樣的做法，埃及才第一次有了幾何學(xué)，而希臘人又從那里學(xué)到了它． 希臘數(shù)學(xué)家德謨克利特(Democritus，約公元前460---前357)也曾指出： 我不得不深信，幾乎埃及人都會(huì)畫證明各種直線的圖形，每個(gè)人都是拉繩定界的先師． 所謂拉繩定界的先師(harpedonaptai)大概是指以拉繩為主要工具的測(cè)量師．埃及人為了發(fā)展農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，必須注意尼羅河的泛濫周期，在實(shí)踐中，積累了許多天文知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)．譬如，他們注意到當(dāng)天狼星和太陽同時(shí)出沒之時(shí)，就是尼羅河洪水將至之兆．并把天狼星的兩個(gè)清晨上升的間隔當(dāng)作一年，它包含365天．把一年分成12個(gè)月，每個(gè)月是30個(gè)晝夜．并逐步摸索出用日晷來測(cè)量時(shí)間．大約在公元前1500年，埃及人就已經(jīng)使用了水鐘---漏壺，它是底部有洞的容器．把這個(gè)容器灌滿水，水從下面的孔里流完的這段時(shí)間作為計(jì)算時(shí)間的單位．所有這些都蘊(yùn)含了計(jì)算．建造著名的金字塔，可推知是公元前四、五千年前的事．根據(jù)對(duì)其結(jié)構(gòu)、形狀的研究，可推測(cè)古代埃及人掌握了一定的幾何知識(shí)，致使底兩個(gè)邊與正北的偏差，一個(gè)僅僅是2"30""，一個(gè)是5"30""．這類的實(shí)際建筑，推動(dòng)了埃及數(shù)學(xué)計(jì)算的發(fā)展．綜上，社會(huì)的生產(chǎn)、生活的實(shí)際需要，促使埃及數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展．二、研究埃及數(shù)學(xué)的依據(jù)古埃及人創(chuàng)造出了幾套文字，其中一套是象形文字． 象形文字 這個(gè)詞源于希臘文，意思是神圣的文字．直到基督降生的年代，埃及在紀(jì)念碑文和器皿上還刻有象形文字．自公元前2500年左右起，開始使用象形文字的縮寫，稱作僧侶文(hieraticwriting)．1．蘭德紙草書埃及的數(shù)學(xué)原典就是由象形文字書寫而成，其中，對(duì)考察古埃及數(shù)學(xué)有重要價(jià)值的是 蘭德紙草書 ，這部紙草書是在埃及古都---底比斯(Thebes)的廢墟中發(fā)現(xiàn)的．1858年由蘭德(A．H．Rhind)購買，爾后，遺贈(zèng)給倫敦大英博物館．因此， 叫做蘭德紙草書．這種紙草書長約550厘米、寬33厘米，摹本出版于1898年．這部紙草書是根據(jù)底比斯人統(tǒng)治埃及時(shí)(約公元前1800年以后)寫成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾寫道，此書是根據(jù)埃及王國時(shí)代(公元前2000---前1800)的材料寫成的．這部紙草書的出現(xiàn)，對(duì)埃及的文化產(chǎn)生了重要影響，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展和傳播起到了一定的作用．阿梅斯認(rèn)為，這是一部 洞察一切事物的存在，徹底研究一切事物的變化，揭示一切秘密 的經(jīng)典．實(shí)際上，只是傳授 數(shù) 的秘密和分?jǐn)?shù)計(jì)算．全書分成三部分，一是算術(shù)；二是幾何；三是雜題．共有85題．記載著埃及人在生產(chǎn)、生活中遇到的實(shí)際問題．例如，對(duì)勞動(dòng)者酬金的分配；面積和體積的計(jì)算；不同谷物量的換算等等．其中，也含有純數(shù)學(xué)知識(shí)問題．例如，分?jǐn)?shù)的難題計(jì)算等等．2．莫斯科紙草書記載著古埃及數(shù)學(xué)的另一部古典書籍是莫斯科紙草書，此書是由俄羅斯收藏者于1893年獲得的．約20年后，即1912年轉(zhuǎn)藏于莫斯科圖書館．這部紙草書長約550厘米、寬8厘米，共記載著25個(gè)問題．由于卷首遺失，書名無法考證．俄羅斯歷史學(xué)家古拉葉夫(Б．?。ぇ濮猝学支?，1868---1920)于1917年和斯特盧威(В．В．Струве，1891---1964)于1930年對(duì)莫斯科紙草書進(jìn)行了研究，后-者完成了出版工作，對(duì)進(jìn)一步研究埃及的數(shù)學(xué)提供了方便．總之，研究埃及數(shù)學(xué)主要是依據(jù)如上兩部書，當(dāng)然，也可能還有其它的有關(guān)資料，有待于進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)與考證．
解放軍文職招聘考試斐波那契和十三世紀(jì)數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:26:49斐波那契和十三世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)過12世紀(jì)的傳播時(shí)期之后，初等數(shù)學(xué)在歐洲獲得了相應(yīng)的發(fā)展．在13世紀(jì)歐洲大多數(shù)國家里，城市成為商業(yè)和手工業(yè)發(fā)展的中心．特別是商業(yè)的發(fā)展，帶來了相當(dāng)復(fù)雜的計(jì)算．這時(shí)的歐洲出現(xiàn)了第一批理論數(shù)學(xué)家．意大利作為當(dāng)時(shí)的商業(yè)中心，培育了中世紀(jì)最杰出的教學(xué)家 斐波那契．斐波那契(L．Fibonacci，約1170---1240以后)，又稱比薩的萊昂那多(LeonardoofPisa)．他是一個(gè)商人的兒子，早年隨父到過北非，跟從 阿拉伯教師學(xué)習(xí)計(jì)算．后來到埃及、敘利亞、希臘、西西里和法國旅游，拜訪各地的學(xué)者，熟悉了不同國家在商業(yè)上使用的算術(shù)體系．經(jīng)過研究和比較，他認(rèn)為其他數(shù)系無一能與印度 阿拉伯?dāng)?shù)系相媲美．斐波那契于1200年回到家鄉(xiāng)，把在各地學(xué)得的數(shù)學(xué)知識(shí)加以總結(jié)，寫成《算盤書》(LiberAbb-aci，1202年初版，1228年修訂本)．這是向西歐介紹印度 阿拉伯?dāng)?shù)系和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的最早的著作．這本書的開頭介紹了一些算盤知識(shí)，而后卻偏離了這一課題．因此，書名中 算盤 一詞已失去它作為計(jì)算工具的本意，而應(yīng)理解為 算術(shù) 或由印度 阿拉伯?dāng)?shù)系而產(chǎn)生的 算法 ．斐波那契大量吸收并系統(tǒng)地總結(jié)了來自阿拉伯文獻(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，改進(jìn)了歐氏幾何的某些技巧，歸納了同種類型的方法和習(xí)題．在算術(shù)和一、二次方程的代數(shù)學(xué)方面，已成為中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)之典范．下面簡(jiǎn)要介紹一下《算盤書》的主要內(nèi)容．《算盤書》共有15章．第1---5章介紹印度 阿拉伯?dāng)?shù)碼記數(shù)法及其四則運(yùn)算．他首先給出9個(gè)印度數(shù)碼的寫法及符號(hào)0的用途，以及如何記數(shù)．他還舉例說明這種記數(shù)法的優(yōu)越性．介紹了整數(shù)的四則運(yùn)算及乘、除法的驗(yàn)算法，討論如何把一個(gè)自然數(shù)分解為質(zhì)數(shù)的乘積，以及能被2，3，5，9整除的數(shù)的特點(diǎn)，給出了大量的數(shù)表(乘法表、質(zhì)數(shù)表等)．第6，7章介紹分?jǐn)?shù)記法及其運(yùn)算，混合分?jǐn)?shù)(帶分?jǐn)?shù))的記法按阿拉伯人的方式 分?jǐn)?shù)部分寫在整數(shù)部分的左邊．作者指出用求最小公倍數(shù)的方法通分的優(yōu)越性，闡述了把一個(gè)分?jǐn)?shù)展開為幾個(gè)單分子分?jǐn)?shù)之和的方法，并列出有關(guān)的數(shù)表．第8---11章討論商業(yè)上實(shí)用的各種算術(shù)問題的解法．包括商品價(jià)格、利潤和利息的計(jì)算、金屬合金的成色、混合物的比例、商品交換、貨幣轉(zhuǎn)換及各種度量問題等．三位法的使用很普遍，還有較復(fù)雜的五位法(或稱六個(gè)量法則)，即解兩個(gè)三位法的問題．在第11章討論的混合問題中出現(xiàn)了類似于中國古代數(shù)學(xué)家所熟悉的 百雞問題 ，不過問題被改為 三十錢買三十只鳥 ： 今有30只鳥值30個(gè)錢幣，其中，每只山鶉值3個(gè)錢，每只鴿子值2個(gè)錢，一對(duì)麻雀值一個(gè)錢，問每種鳥各多少？ 9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿布卡米爾(Abū－Kamil)的數(shù)學(xué)著作中曾出現(xiàn)過 百雞問題 ，一般認(rèn)為是由印度傳入的．有資料表明，斐波那契接觸過阿布卡米爾的著作，因此中國數(shù)學(xué)史家推測(cè)，這類問題是由中國經(jīng)印度、阿拉伯國家而傳入歐洲的．第12章的內(nèi)容最為豐富，涉及各種類型的問題，如各種數(shù)列的求和法：算術(shù)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、平方數(shù)數(shù)列和遞歸數(shù)列等．幾何級(jí)數(shù)的求和是為解決來自埃及紙草書中的問題，而遞歸數(shù)列的求和則出現(xiàn)在關(guān)于家兔繁殖的問題中：假定每對(duì)大兔每月能生一對(duì)小兔，每對(duì)小兔生長兩個(gè)月就成大兔，問在不發(fā)生死亡的條件下，由一對(duì)小兔開始，一年之后可繁殖成多少對(duì)兔子？這個(gè)問題使斐波那契名垂史冊(cè)．問題的答案由下列和式給出：1＋1＋2＋3＋5＋8＋ ＋233．其中從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和．這個(gè)數(shù)列現(xiàn)稱斐波那契數(shù)列，這是在歐洲最早出現(xiàn)的遞歸數(shù)列，它有許多重要而有趣的性質(zhì)，在以后的近800年中一直是許多學(xué)者研究的對(duì)象．在12章中，有大量的問題可以化歸為解一次方程．斐波那契稱未知數(shù)為res，即一堆東西，沒有引進(jìn)代數(shù)符號(hào)．值得指出的是，在第12章，還有兩個(gè)問題也是由中國輾轉(zhuǎn)傳到歐洲去的：一、求一數(shù)，它能被7整除，而被2，3，4，5，6除時(shí)均余1；二、求一數(shù)，它被3，5，7除時(shí)分別余2，3，2．第13章是用雙設(shè)法解線性方程，討論了幾種情況，計(jì)算過程用圖表給出．這里還最早用單詞minus和Plus表示不足和過剩，后來這兩個(gè)詞變成表示加法和減法的符號(hào)．第14章介紹平方根和立方根的近似計(jì)算，立方根的計(jì)算相當(dāng)于使用下列公式第15章是問題匯編，包括大量的幾何和代數(shù)應(yīng)用問題，許多內(nèi)容取自花拉子米的《代數(shù)學(xué)》．除了未知數(shù)用res表示以外，在《算盤書》中，還采用了其他的術(shù)語，如根 radix，未知數(shù)的平方 census，根的平方 quadratus，自由項(xiàng) numeres或denarins等．這些用語都是阿拉伯文中相應(yīng)單詞的拉丁文譯文．《算盤書》以它的內(nèi)容豐富、方法有效、多樣化的習(xí)題和令人信服的論證而名列12---14世紀(jì)數(shù)學(xué)著作之冠，對(duì)歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響．除了《算盤書》外，斐波那契還有三部著作傳世：《實(shí)用幾何》(Practica geometriae，1220)、《花絮》(Flos，1225)《平方數(shù)書》(Liber quadratorum，1225)．在《實(shí)用幾何》中處理了大量的幾何學(xué)和三角學(xué)的題材，共有8章．內(nèi)容包括面積和體積的計(jì)算、平方根和立方根的近似計(jì)算，曲面的剖分，物體的測(cè)量以及關(guān)于圓的各種計(jì)算．應(yīng)用了二次方程的求解，投影方法和幾何圖形的相似性等方法．在當(dāng)時(shí)是一種很實(shí)用的小冊(cè)子．《花絮》記載的是在羅馬皇帝腓特烈二世(FriedrichⅡ)的宮廷中舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽時(shí)提出的問題．內(nèi)容多是求代數(shù)方程的解，如解方程x2＋5＝y(tǒng)2，x2－5＝z2及x3+2x2＋10x=20等，他用逼近法給出第三個(gè)方程的近似解x＝1.3688081075，精確到小數(shù)點(diǎn)后9位．《平方數(shù)書》是一部專門討論二次丟番圖方程的著作，其中有許多是他本人的發(fā)現(xiàn)．書中系統(tǒng)地編排了各類問題，如詳細(xì)討論了上面提到的方程x2＋5＝y(tǒng)2，x2-5＝z2，給出了一系列重要結(jié)果及與此相關(guān)的命題，如 x2+y2和x2-y2不可能同是平方數(shù) ， x4－y4不可能是平方數(shù) 等．這部著作使斐波那契成為數(shù)論中介于丟番圖(Diophantus，活動(dòng)于250---275)和費(fèi)馬(P．deFermat 1601---1665)之間貢獻(xiàn)最大的人物．在13世紀(jì)以前，歐洲的記數(shù)法比較混亂，計(jì)算方法也十分復(fù)雜、笨拙．印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼及其計(jì)數(shù)法傳入歐洲之后，使算術(shù)的面貌大為改觀．但新計(jì)數(shù)法代替舊的計(jì)數(shù)法是一個(gè)漫長的過程．在斐波那契之后，又出現(xiàn)了一批介紹印度 阿拉伯算術(shù)的著作．在英國，有薩克羅博斯科 (J．de Sacrobosco，？ 1256)的《算法書》(Algorismus)；東羅馬有普萊紐迪斯(M．Planudes，約1255---1305)的《印度算術(shù)》(Psephophoria Kat Indous)；在法國有維爾迪厄(A．de Villedieu，？ 約1240)的《算法歌》(Carmen de algorismo)；在德國有約丹努斯(N．deJordanus，約1220)的《算法論證》(Algorismus Demons-tratus)等．這些著作大多用拉丁文所著，后又從拉丁文譯成多種文字，通行了幾個(gè)世紀(jì)，對(duì)新記數(shù)法的引入和計(jì)算方法的改進(jìn)起到重要作用．
解放軍文職招聘考試英雄時(shí)代——十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:37:00英雄時(shí)代 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就是微積分，18世紀(jì)的大部分?jǐn)?shù)學(xué)工作則是多方面利用微積分方法所進(jìn)行的新的創(chuàng)造．產(chǎn)生了現(xiàn)在仍在研究的許多數(shù)學(xué)新領(lǐng)域：微分方程、微分幾何、變分法，等等．18世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)是，取得的成果相當(dāng)豐富，涉獵的領(lǐng)域十分廣泛，但其中有些內(nèi)容卻經(jīng)不起嚴(yán)格的推敲．18世紀(jì)的卓越數(shù)學(xué)家主要有英倫三島的泰勒(B．Taylor，1685 1731)、馬克勞林(C．Maclaurin，1698 1746)；歐洲大陸有瑞士的貝努利(Bernoulli)家族，以及18世紀(jì)數(shù)學(xué)界的中心人物、在數(shù)學(xué)史上與阿基米德(Archimedes)、牛頓(I．Newton)、高斯(F．Gauss，1777 1855)一起被稱為 四個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家 的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L．Euler，1707 1783)．隨著牛頓的去世，以及牛頓與萊布尼茨(G．W．Leibniz)關(guān)于微積分優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)日趨激烈，英倫三島數(shù)學(xué)界固守牛頓的流數(shù)方法，拒不接受歐洲大陸的數(shù)學(xué)思想，英倫三島在牛頓尤其是在馬克勞林之后，數(shù)學(xué)發(fā)展相對(duì)比較緩慢．繼貝努利家族和歐拉之后，主宰18世紀(jì)的數(shù)學(xué)是法國數(shù)學(xué)家，他們中有棣莫弗(A．DeMoivre，1667 1754)、克萊羅(A．C．Clairaut，1713 1765)達(dá)朗貝爾(D Alembert，1717 1783)、蘭伯特(J．H．La-mbert，1728 1777)著名的 三L ：拉格朗日(J．L．La－grange，1736 1813)、拉普拉斯(P．S．Laplace，1749 1827)、勒讓德(A．M．Legendre，1752 1833)，以及蒙日(G．Monge，1746 1818)和卡諾(L．Carnot，1753 1823)．法國一直到19世紀(jì)上半葉仍是世界數(shù)學(xué)中心．18世紀(jì)數(shù)學(xué)工作的推動(dòng)力是解決物理 自然科學(xué)的問題，工作的目標(biāo)不是數(shù)學(xué)，而是解決物理問題．法國百科全書學(xué)派的狄德羅(D．Dideret，1713 1784)和達(dá)朗貝爾明確地把數(shù)學(xué)看作是自然科學(xué)的一個(gè)分支，這樣數(shù)學(xué)在歷史上第一次從屬于自然科學(xué)，而且這種觀點(diǎn)到今天仍有影響．這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家?guī)缀鯚o一例外地都從事于科學(xué)、工業(yè)技術(shù)、軍事問題的研究，并且其認(rèn)真程度絲毫不亞于研究數(shù)學(xué)．同時(shí)，數(shù)學(xué)家還逐漸拋棄了宇宙是上帝按照數(shù)學(xué)定律設(shè)計(jì)的信念，機(jī)械決定論開始占據(jù)人們的心靈，而這一切都得益于數(shù)學(xué)的巨大成就．18世紀(jì)可以說是數(shù)學(xué)史上的英雄時(shí)代．第一節(jié) 數(shù)學(xué)分析一、微積分18世紀(jì)數(shù)學(xué)的核心是以微積分為主的數(shù)學(xué)分析，這一世紀(jì)的中心人物是歐拉．牛頓、萊布尼茨創(chuàng)造了微積分，而歐拉則使這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域充滿了光輝燦爛的景色．拉普拉斯(P．S．Laplace)的話道出了當(dāng)時(shí)的狀況： 讀讀歐拉，讀讀歐拉(指其著作)，他是我們大家的老師． 這一評(píng)價(jià)甚至在今天也不過分．歐拉于1707年4月15日誕生于瑞士巴塞爾．小時(shí)由父親任啟蒙教師，12歲入當(dāng)?shù)刂袑W(xué)，16歲畢業(yè)后遵從父愿，入巴塞爾大學(xué)神學(xué)系學(xué)習(xí)．在神學(xué)課程之余，他被約翰 貝努利(JohannBernoulli)的數(shù)學(xué)講座深深吸引了，在貝努利兄弟的影響下，數(shù)學(xué)逐漸擠走了神學(xué)，占據(jù)了他的學(xué)習(xí)日程表，而且貝努利也開始對(duì)他刮目相看，熱情地指點(diǎn)他．歐拉回憶約翰 貝努利時(shí)曾深情地說，貝努利讓他每星期六下午到晚上自由地去他的住處，他讓歐拉每解決一個(gè)問題，歐拉就能很順利地解決10個(gè)問題．的確，在貝努利兄弟的指導(dǎo)下，歐拉已經(jīng)具備了優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的素質(zhì)，并開始從事數(shù)學(xué)研究．18歲時(shí)他就發(fā)表了數(shù)學(xué)論文．1726年，年僅19歲的歐拉由于在船的立桅方面的研究論文而獲得巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金，從而在歐洲數(shù)學(xué)界嶄露頭角．這一年他正好大學(xué)畢業(yè)．在瑞士，年輕的歐拉未能獲得自己所謀求的職位，恰巧這時(shí)約翰 貝努利在俄國彼得堡科學(xué)院任教授的兒子尼古拉 貝努利(Nicolaus Bernoulli)和丹尼爾 貝努利(Daniel Bernoulli)來信說，俄國歡迎歐拉．1727年5月17日歐拉來到彼得堡科學(xué)院任丹尼爾 貝努利的副手，1731年被任命為副教授，1733年他接替丹尼爾 貝努利擔(dān)任彼得堡科學(xué)院的數(shù)學(xué)教授．他為俄國的數(shù)學(xué)發(fā)展、科學(xué)進(jìn)步做了大量的工作，他的許多成果出現(xiàn)在彼得堡科學(xué)院的刊物上，幫助俄國政府解決了大量的物理學(xué)、工程學(xué)方面的難題．過度的案頭工作使得這位數(shù)學(xué)大師得了眼病，不幸于1735年右眼失明，這一年他還只有28歲．1741年，歐拉應(yīng)腓特烈大帝之邀擔(dān)任柏林科學(xué)院物理數(shù)學(xué)研究所所長．除此之外，他還在宮廷為公主們講授數(shù)學(xué)、物理、天文、哲學(xué)乃至宗教方面課程．講述的內(nèi)容曾以《給一位德國公主的信》，(Letters to a German Princess)發(fā)表，是一部風(fēng)趣、文筆優(yōu)雅的科普作品．他為普魯士研究了保險(xiǎn)、河運(yùn)等方面的一系列問題．1766年，俄國沙皇誠摯的邀請(qǐng)終于使歐拉又回到了彼得堡科學(xué)院．實(shí)際上，他時(shí)刻也沒忘記俄國．在1741 1766年的25年時(shí)間里，身在柏林的歐拉，卻仍為彼得堡科學(xué)院寫了上百篇論文，時(shí)刻關(guān)注著俄國的事務(wù)．的確，俄國、彼得堡科學(xué)院是他的第二故鄉(xiāng)，是他施展聰明才智的地方．俄國人民也深深地?zé)釔鬯?，以致于俄國?shù)學(xué)史家差不多總是將歐拉當(dāng)作俄國數(shù)學(xué)家、俄國數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人和彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的奠基人．回到俄國后不久，嚴(yán)寒的氣候?qū)W拉微弱的視力如雪上加霜，很快左眼視力衰退，最后于1766年底雙目失明．這對(duì)于一位以案頭工作為主的數(shù)學(xué)家的打擊可想而知．此時(shí)他已59歲，年近花甲．然而，在他生命的最后17年，盡管雙目失明，在全盲中他的成果卻絲毫不減往年．1771年，圣彼得堡突起大火，殃及他的住宅，雙目失明而又身染疾病的歐拉被圍困在大火中．雖然一位工人冒著生命危險(xiǎn)將這位大師從大火中搶救了出來，然而他的書庫、大量研究成果卻全部化為灰燼．沉重的打擊，并沒有使天性樂觀的歐拉屈服，而是更加勤奮的工作．他以驚人的毅力與黑暗作斗爭(zhēng)，以超常的記憶力和心算從事數(shù)學(xué)研究．人們發(fā)現(xiàn)，對(duì)不少有才能的數(shù)學(xué)家在紙上做起來也很困難的數(shù)學(xué)證明與計(jì)算，他卻能心算出來！在數(shù)學(xué)史上，歐拉與阿基米德、牛頓、高斯一起被稱為四位最偉大的數(shù)學(xué)家．而歐拉又是數(shù)學(xué)史上成果最多、數(shù)學(xué)著作最多的數(shù)學(xué)家．研究的數(shù)學(xué)領(lǐng)域遍歷微積分、微分方程、解析幾何與微分幾何、數(shù)論、級(jí)數(shù)與變分法，他還是卓越的理論物理學(xué)家，通過將數(shù)學(xué)應(yīng)用到整個(gè)物理學(xué)領(lǐng)域，創(chuàng)立了分析力學(xué)及剛體力學(xué)學(xué)科．他寫了數(shù)學(xué)分析、解析幾何與微分幾何、代數(shù)、變分法、力學(xué)方面的許多課本，并且在百余年的時(shí)間里被用作標(biāo)準(zhǔn)教材．除課本外，從20歲開始，他以每年約800頁左右的速度發(fā)表高質(zhì)量的研究性論文，論文所獲得的獎(jiǎng)金成了他的生活收入主要來源．雙目失明后，他還寫了好幾本書和400余篇研究論文．歐拉全集達(dá)厚厚的74卷．今天，我們幾乎可以在數(shù)學(xué)的任何分支中看到歐拉的名字：初等幾何中的歐拉線，立體幾何中的歐拉定理，解析幾何中的歐拉變換，方程中的歐拉解法，微積分中的歐拉積分，數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程中的歐拉方程，級(jí)數(shù)論中的歐拉常數(shù)，以及歐拉線、眾多的歐拉方程、歐拉公式 ，令人目不暇接．然而，歐拉并不像牛頓、萊布尼茨那樣終身一人．大量的數(shù)學(xué)、科學(xué)創(chuàng)造并未犧牲他所有的天倫之樂．他是一位稱職的丈夫，13個(gè)孩子喜愛的父親．與妻子一同安排家務(wù)，給孩子們做科學(xué)游戲，一起念誦《圣經(jīng)》，在黃昏的林蔭道上留下了幸福家庭的串串腳?。畾W拉愛好思考哲學(xué)問題，曾數(shù)次與啟蒙思想家伏爾泰(F．M．A．Voltaire)切磋，甚至欣賞伏爾泰對(duì)他的哲學(xué)觀點(diǎn)的尖銳批評(píng)．可見其生性是多么豁達(dá)樂觀．1783年9月18日傍晚，為慶祝計(jì)算氣球上升定律的成功，他請(qǐng)朋友們吃飯，席間他興致勃勃地講述了計(jì)算要領(lǐng)，然后喝茶、逗孫子玩，突然疾病發(fā)作，煙斗落地，口中喃喃： 我死了． 于是 他停止了計(jì)算，也停止了生命 ．在歐拉的時(shí)代，隨著微積分的發(fā)展，函數(shù)概念顯得越來越重要了．18世紀(jì)時(shí)占主導(dǎo)地位的函數(shù)概念是，函數(shù)是由一個(gè)解析表達(dá)式(有限或無限)給出的．今天我們熟知的各種初等函數(shù)，大都得益于歐拉的系統(tǒng)總結(jié)．1748年，他寫下了兩卷本《無窮小分析引論》(Introduction Analysin Infinitorum)，首先，將函數(shù)定義為由一個(gè)變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達(dá)式．隨后系統(tǒng)地研究了各種函數(shù)．在三角函數(shù)方面，他一方面使sinx，cosx，tgx等徹底擺脫了直角三角形的局限，使之成為一般意義上的函數(shù)；同時(shí)弄清了三角函數(shù)的周期性，并且引入了弧度概念．他區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù)，單值函數(shù)與多值函數(shù)．不僅如此，他還在意識(shí)到超越數(shù)的基礎(chǔ)上，引入了超越函數(shù)，認(rèn)為三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及某些特殊函數(shù)是超越函數(shù)，這些函數(shù)的特征是不能通過對(duì)某個(gè)表達(dá)式作代數(shù)運(yùn)算得到．實(shí)際上，代數(shù)函數(shù)、超越函數(shù)的提出表明歐拉已經(jīng)定義了多元函數(shù)f(x，y， )，其中二元函數(shù)f(x，y)、三元函數(shù)f(x ，y，z)在當(dāng)時(shí)是最重要的．(其中，P(x)為x的有理函數(shù)，R(x)則為四次多項(xiàng)式)．分進(jìn)行更一般的研究乃至建立橢圓函數(shù)論則是19世紀(jì)的事情了．今天已經(jīng)遍及數(shù)學(xué)、物理的許多部門的兩個(gè)非常重要的非初等函數(shù) (Gamma)函數(shù)、 (Beta)函數(shù)，也是18世紀(jì)引入的．這兩個(gè)函數(shù)都是歐拉創(chuàng)造的，最初是因?yàn)榍蠼獬Ｎ⒎址匠痰男枰?，隨后哥德巴赫(C．Goldbach，1690 1764)考慮插值問題時(shí)就這個(gè)問題求教歐拉，于是歐拉在1729年10月13日寫給哥德巴赫的信中解決了這個(gè)問題，并在1730年1月8日第二封信中引入了積分問題了 (n＋1)＝n (n)．明顯地 (1)=1．于是對(duì)任何正整數(shù)n都有 (n＋1)＝n (n)＝n (n-1) 2 1 (1)在1830年1月8日給哥德巴赫的信中，歐拉還提出了今天的 函數(shù)不過歐拉在1771年已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了 函數(shù)與 -函數(shù)的重要關(guān)系：B(p，拉第二型積分，這一名稱一直沿用到今天．勒讓得還得到了下述結(jié)果：普通導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別開始并不被人們重視，許多人對(duì)兩者都用同樣的記號(hào)，但萊布尼茨卻察覺了這一點(diǎn)，1694年他曾用 m 表示 64年才出版的著作中，封田(A．Fonta－ine)對(duì)于x，y，z，u等變量的函數(shù) ，給出了公式格朗日等人的改進(jìn)，逐漸演變成了今天的偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)．克萊羅在偏導(dǎo)數(shù)方面的主要貢獻(xiàn)是得到了dz＝pdx＋qdy是全微分的條件，其中p，q是x，y的函數(shù)， 全微分 是由封田提出的，系克雷羅得到了這樣的結(jié)果：pdx+qdy是全微分(即 方程的研究極為有用，它是積分因子法的理論基礎(chǔ)．拉對(duì)由弧圍成的有界區(qū)域上的二重定積分已經(jīng)有了比較清楚的概念，并給出了用累次積分計(jì)算這種積分的程序，但對(duì) f(x，y)dxdy的次序交換問題仍比較模糊．由于探討引力、多體力學(xué)問題，拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德開始了三重積分研究．拉格朗日用三重積分表示引力．值得注意的是，積分變換在三重積分中發(fā)揮了重要的作用．1773年，拉格朗日在他關(guān)于旋轉(zhuǎn)橢球引力的研究中，發(fā)現(xiàn)用直角坐標(biāo)計(jì)算很困難，于是轉(zhuǎn)用球坐標(biāo)，他引入積分變換的實(shí)質(zhì)是用r2sin d ddr代替dxdydz，于是他開始了多重積分變換的課題，1772年拉普拉斯也給出了球坐標(biāo)變換．從此， 變換 在數(shù)學(xué)中逐漸為人們重視，18世紀(jì)的變換主要集中在兩個(gè)方面，一個(gè)是坐標(biāo)變換，這對(duì)于多重積分非常重要，另一是微分方程中的變換，其中最著名的是拉普拉斯變換．
